クインケ管で波長を測る

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 装置の見た目は複雑だが、干渉の条件は「経路差が波長の何倍か」だけである。

この装置の特徴は、経路差が引き出す長さの $2$ 倍になることである。$\mathrm{U}$ 字部分を引き出すと、行きと帰りの両方が伸びるからである。

そして測定では「連続する $2$ つの位置の差」を使う。差をとれば整数 $m$ が消えるので、$m$ が何番目かを知らなくても波長が求まる。これが測定を確実にする工夫である。

① 弱め合いの条件。 $2$ つの経路を通った音が逆位相で重なると弱め合う。

経路差は $2d$ だから

$$2d=\left(m+\frac{1}{2}\right)\lambda$$

② 間隔と波長。 $m$ 番目と $m+1$ 番目の位置を引き算する。

$$2d_{m+1}-2d_m=\lambda ⟹d_{m+1}-d_m=\frac{\lambda }{2}$$

間隔がちょうど $\frac{\lambda }{2}$ である。測定値が $0.25\mathrm{m}$ だったから

$$\lambda =0.50\mathrm{m}$$

$$f=\frac{v}{\lambda }=\frac{340}{0.50}=680\mathrm{Hz}$$

③ 最初の位置。 $m=0$ とすると

$$2d=\frac{\lambda }{2}⟹d=\frac{\lambda }{4}=0.125\mathrm{m}$$

④ 振動数を変えると。

$${\lambda }^{\prime }=\frac{340}{1360}=0.25\mathrm{m}$$

間隔は $\frac{{\lambda }^{\prime }}{2}=0.125\mathrm{m}$ で、もとの半分になる。高い音ほど、細かく音の大小がくり返される。

まとめ 経路差が $2d$ であることと、連続する位置の差をとると $m$ が消えることの $2$ 点が要点である。$m$ を特定しなくてよいので、測定が確実になる。

発展 — 一歩先へ。 「差をとって未知の整数を消す」という手は、測定の定石である。

気柱の共鳴で開口端補正を消すときも、$2$ つの共鳴位置の差をとって $\frac{\lambda }{2}$ を求めた。光のマイケルソン干渉計でも、鏡の移動距離と縞の本数から波長を出す。どれも「何番目か」を知らずに済ませている。

逆に、$d=0$ が本当に経路差 $0$ なのかは、装置の作りに依存して信用しにくい。$1$ 点の絶対値ではなく、$2$ 点の差で測る——測定を設計するときの基本姿勢である。

別解

グラフを描いて読み取るルート。 $d$ を連続的に変えながら音の大きさを記録すると、周期的なグラフが得られる。

合成波の振幅は、経路差 $2d$ に対して

$$2A\left|\cos \frac{2\pi d}{\lambda }\right|$$

と書ける。$d$ について周期 $\frac{\lambda }{2}$ の変化である。

このグラフを描いて、山と山(または谷と谷)の間隔を測れば $\frac{\lambda }{2}$ が求まる。$1$ 組の谷だけを使うより、いくつもの谷を使って直線あてはめをするほうが、読み取り誤差が平均化されて精度が上がる。

具体的には、$m$ 番目の谷の位置 $d_m$ を縦軸、$m$ を横軸にとると、傾き $\frac{\lambda }{2}$ の直線になる。$5$ 点、$10$ 点と測って直線を引けば、$1$ 組の測定より確かな値が得られる。

また、直線が原点を通らない(切片がある)場合は、$d=0$ の位置がずれていることを意味する。装置の系統誤差が、グラフの切片として見える形になる。