原子 — 光電効果・ボーア模型・原子核

波長 $6.6\times 10^{-7}\mathrm{m}$ の光の光子 1 個のエネルギーを求めよ。プランク定数を $h=6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$、光速を $c=3.0\times 10^{8}m/s$ とする。

前問の光子のエネルギー $3.0\times 10^{-19}\mathrm{J}$ を電子ボルト(eV)で表せ。電気素量を $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。

仕事関数 $2.0\mathrm{eV}$ の金属に、エネルギー $3.0\mathrm{eV}$ の光子を当てた。飛び出す光電子の最大運動エネルギーを (1) eV で (2) ジュールで 求めよ。電気素量を $1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。

仕事関数 $2.0\mathrm{eV}$ の金属について、光電子が飛び出す限界の振動数(限界振動数)${\nu }_0$ を求めよ。$h=6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$、$1\mathrm{eV}=1.6\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とする。

速さ $1.0\times 10^{6}m/s$ で運動する電子(質量 $9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$)の物質波(ド・ブロイ波)の波長を求めよ。$h=6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ とする。

前問の電子(質量 $9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、速さ $1.0\times 10^{6}m/s$)の運動量を求めよ。また、この運動量とド・ブロイ波長の関係を式で表せ。

水素原子のエネルギー準位は $E_n=-\frac{13.6}{n^2}\mathrm{eV}$($n=1,2,3,\dots$)で表される。(1) 基底状態($n=1$)と (2) $n=2$ の状態のエネルギーを求めよ。 (3) エネルギーが負であることは何を意味するか。

水素原子($E_n=-\frac{13.6}{n^2}\mathrm{eV}$)の電子が $n=2$ の状態から $n=1$ の状態へ移った。このとき放出される光子のエネルギーを eV で求めよ。

前問で放出された光子(エネルギー $10.2\mathrm{eV}$)の波長を求めよ。$h=6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$、$c=3.0\times 10^{8}m/s$、$1\mathrm{eV}=1.6\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とする。

電圧 $1.0\times 10^4\mathrm{V}$ で加速した電子を金属に当てて X 線を発生させた。発生する X 線の最短波長を求めよ。$h=6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$、$c=3.0\times 10^{8}m/s$、$e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。

質量 $1.0\times 10^{-3}\mathrm{kg}$($1\mathrm{g}$)がすべてエネルギーに変わったとすると、そのエネルギーはいくらか。$c=3.0\times 10^{8}m/s$ とする。

ある放射性原子核の半減期は $8$ 日である。はじめ $1.6\times 10^{20}$ 個あった原子核は、$32$ 日後には何個になっているか。

ある金属に振動数 $\nu$ の光を当て、光電子の最大運動エネルギー $K_{max}$ を測ると、$K_{max}$-$\nu$ グラフは直線になった。振動数 $6.0\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ で $K_{max}=1.3\times 10^{-19}\mathrm{J}$、$8.0\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ で $K_{max}=2.6\times 10^{-19}\mathrm{J}$ であった。(1) この直線の傾きからプランク定数を求めよ。 (2) 仕事関数を求めよ。

光電効果で飛び出した光電子の最大運動エネルギーが $1.6\times 10^{-19}\mathrm{J}$ であった。この光電子の最大の速さを求めよ。電子の質量を $9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、$\sqrt{3.5\times 10^{11}}=5.9\times 10^5$ とする。

X 線を物質に当てると、散乱された X 線の中に、入射 X 線より波長の長い成分が現れる(コンプトン効果)。(1) この現象は光の粒子性・波動性のどちらの証拠か。 (2) 波長が伸びる理由を、光子と電子の衝突という観点から説明せよ。

ボーアの原子模型では、電子は「円周の長さが物質波(ド・ブロイ波)の波長の整数倍になる軌道」だけを回れる(量子条件)。(1) この条件を、軌道半径 $r$、電子の速さ $v$、量子数 $n$ を使って式で表せ。 (2) この条件が、電子が定まった軌道だけを回る(エネルギー準位がとびとびになる)ことをどう説明するかを述べよ。

水素原子で電子が $n=3$ から $n=2$ の準位へ移るとき放出される光の波長を、リュードベリの式 $\frac{1}{\lambda }=R\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2}\right)$($n\ge 3$)を使って求めよ。リュードベリ定数を $R=1.1\times 10^7/m$ とする。

水素原子($E_n=-\frac{13.6}{n^2}\mathrm{eV}$)について、(1) 基底状態($n=1$)の電子を原子から完全に取り去る(イオン化する)のに必要なエネルギー(イオン化エネルギー)を求めよ。 (2) このエネルギーを、$n=2$ から $n=1$ への遷移で放出される光子(基礎で $10.2\mathrm{eV}$)と比べよ。

X 線管で発生する X 線には、連続スペクトルと、特定の波長に鋭いピーク(特性 X 線)がある。(1) 連続スペクトルの最短波長を決めるのは何か。加速電圧 $2.0\times 10^4\mathrm{V}$ での最短波長を求めよ。 (2) 特性 X 線の波長は何で決まるか。$h=6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$、$c=3.0\times 10^{8}m/s$、$e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。

光電管に光を当てると光電子が飛び出し、電流が流れる。逆向きの電圧をかけていくと、ある電圧(阻止電圧)$V_0$ で電流が 0 になる。最大運動エネルギー $K_{max}=1.6\times 10^{-19}\mathrm{J}$ の光電子が飛び出しているとき、阻止電圧を求めよ。$e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。

静止した電子を電位差 $100\mathrm{V}$ で加速した。この電子のド・ブロイ波長を求めよ。電子の質量 $9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、$e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$、$h=6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$、$\sqrt{2.9\times 10^{-47}}=5.4\times 10^{-24}$ とする。

ある原子核の質量は、それを構成する陽子・中性子がばらばらのときの質量の合計より $0.03\mathrm{u}$ だけ小さい(質量欠損)。この質量欠損に対応する結合エネルギーを求めよ。$1\mathrm{u}=1.66\times 10^{-27}\mathrm{kg}$、$c=3.0\times 10^{8}m/s$、$1\mathrm{MeV}=1.6\times 10^{-13}\mathrm{J}$ とする。

半減期 $T$ の放射性原子核がある。(1) 時間 $t$ 後に残っている原子核の割合を $t,T$ の式で表せ。 (2) はじめの $\frac{1}{8}$ になるのは半減期の何倍の時間か。 (3) 半減期が $8$ 日、はじめ $8.0\times 10^{20}$ 個のとき、$24$ 日後の個数を求めよ。

ウラン ${}_{92}^{238}\mathrm{U}$ が $\alpha$ 崩壊した。(1) $\alpha$ 崩壊で放出される粒子は何か。 (2) 崩壊後の原子核の質量数と原子番号を求めよ。 (3) $\beta$ 崩壊では原子番号がどう変わるか、理由とともに述べよ。

仕事関数 $2.0\mathrm{eV}$ の金属に、振動数 $1.0\times 10^{15}\mathrm{Hz}$ の光を当てた。$h=6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$、$e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。(1) 光子のエネルギーを eV で求めよ。 (2) 光電子の最大運動エネルギーを求めよ。 (3) 阻止電圧を求めよ。 (4) 光の強さ(明るさ)を 2 倍にすると、阻止電圧はどうなるか。

水素原子で、電子(質量 $m$、電荷 $-e$)が陽子(電荷 $+e$)のまわりを半径 $r$、速さ $v$ で等速円運動している。クーロン力が向心力となる。(1) 運動方程式を書け。 (2) 量子条件 $mvr=\frac{nh}{2\pi }$ と合わせると、半径が $r_n\propto n^2$ となることを示せ。 (3) エネルギーが $E_n\propto -\frac{1}{n^2}$ となることを、言葉で説明せよ。

水素原子のスペクトルは、電子が落ち込む先の準位で系列に分かれる。$\frac{1}{\lambda }=R\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)$($n_2>n_1$)、$R=1.1\times 10^7/m$ とする。(1) $n_1=1$ の系列(ライマン系列)で、$n_2=2$ から出る光の波長を求めよ。 (2) ライマン系列($n_1=1$)とバルマー系列($n_1=2$)は、それぞれ紫外・可視・赤外のどれか。 (3) 各系列で最も短い波長(系列限界)は $n_2\to \infty$ で決まることを説明せよ。

電子を電位差 $150\mathrm{V}$ で加速し、結晶に当てると回折模様が現れた。(1) この電子のド・ブロイ波長を求めよ。 (2) 回折が起こったことは何を意味するか。 (3) 同じ実験を電圧 $600\mathrm{V}$ で行うと波長はどうなるか。電子の質量 $9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、$e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$、$h=6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$ とする。

X 線を静止した電子に当てて散乱させる。散乱角 $90°$ の方向へ散乱された X 線の波長の伸び $\Delta \lambda$ を、コンプトンの式 $\Delta \lambda =\frac{h}{mc}(1-\cos \theta )$ で求めよ。電子の質量 $9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、$h=6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$、$c=3.0\times 10^{8}m/s$、$\cos 90°=0$ とする。また、この波長変化が入射波長によらないことを述べよ。

ある核反応で、反応前後の質量の差(質量減少)が $0.02\mathrm{u}$ であった。(1) この反応で放出されるエネルギー(Q 値)を MeV で求めよ。 (2) この反応が核融合(軽い核が結合)か核分裂(重い核が分裂)かにかかわらず、質量が減ればエネルギーが放出される理由を述べよ。$1\mathrm{u}=931\mathrm{MeV}$(エネルギー換算)とする。

半減期 $8$ 日の放射性同位体がある。はじめ $1.0\times 10^{20}$ 個あった。(1) $24$ 日後に残っている個数を求めよ。 (2) はじめの放射能(毎秒の崩壊数)に対して、$24$ 日後の放射能は何倍か。 (3) 放射能が個数に比例する理由を述べよ。

ウラン 235 の核分裂 1 回で、質量が約 $0.2\mathrm{u}$ 減少する。(1) 核分裂 1 回で放出されるエネルギーを MeV で求めよ。 (2) ウラン $1.0\mathrm{g}$($=2.6\times 10^{21}$ 個)がすべて核分裂したときの総エネルギーを J で求めよ。 (3) これを石炭(1 g で約 $3\times 10^4\mathrm{J}$)と比べよ。$1\mathrm{u}=931\mathrm{MeV}$、$1\mathrm{MeV}=1.6\times 10^{-13}\mathrm{J}$ とする。

太陽の光が地球のあたりで運ぶエネルギーは、光の進む向きに垂直な面 $1{\mathrm{m}}^2$ につき毎秒 $I=1.4\times 10^3\mathrm{J}$ である。光の波長を $5.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$ とし、$h=6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$、$c=3.0\times 10^{8}m/s$、$1\mathrm{eV}=1.6\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とする。

(1) 光子 1 個のエネルギーを J と eV で、また運動量を求めよ。

(2) 面 $1{\mathrm{m}}^2$ には毎秒何個の光子が当たるか。

(3) 光をすべて吸収する面が受ける圧力を求めよ。また、すべて反射する面ではどうなるか。

(4) 面積 $1.0\times 10^3{\mathrm{m}}^2$、質量 $10\mathrm{kg}$ の、光を完全に反射する帆を宇宙空間に広げる。光が垂直に当たるとき、帆の加速度と、$1$ 日後の速さを求めよ。$1$ 日を $8.6\times 10^4\mathrm{s}$ とする。

波長 $\lambda =1.0\times 10^{-11}\mathrm{m}$ の X 線を、静止した電子に当てる。散乱された X 線を、入射方向から $90^{\circ }$ の向きで観測した。

散乱による波長の変化は

$$\Delta \lambda =\frac{h}{mc}\left(1-\cos \theta \right)$$

で与えられる。$h=6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$、$c=3.0\times 10^{8}m/s$、電子の質量 $m=9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、$1\mathrm{eV}=1.6\times 10^{-19}\mathrm{J}$ とする。

(1) $\frac{h}{mc}$(コンプトン波長)の値を求めよ。

(2) 散乱後の波長と、入射・散乱それぞれの光子のエネルギーを keV で求めよ。また電子が受け取ったエネルギーは、入射光子のエネルギーの何 $\%$ か。

(3) 運動量保存から、はじき飛ばされた電子の運動量の大きさと、入射方向からの角度を求めよ。

(4) (3) で求めた運動量から $\frac{p^2}{2m}$ として運動エネルギーを見積もると、(2) の値より数 $\%$ 大きくなる。その理由を述べよ。

電子を電圧 $V=100\mathrm{V}$ で加速し、間隔 $d=1.0\times 10^{-6}\mathrm{m}$ の二重スリットに当てる。スリットから $L=1.0\mathrm{m}$ 離れたスクリーンで、到達した電子の分布を調べる。

$h=6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$、電子の質量 $m=9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、電気量の大きさ $e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。加速後の電子は非相対論的に扱ってよい。

(1) 加速された電子の運動量と、ド・ブロイ波長を求めよ。

(2) スクリーンにできる縞の間隔を求めよ。

(3) 加速電圧を $4$ 倍の $400\mathrm{V}$ にすると、縞の間隔はどうなるか。

(4) 電子を $1$ 個ずつ、十分に間隔をあけて送りこんでも、多数の電子が到達したあとには同じ縞ができる。この事実は何を意味するか述べよ。

水銀の蒸気を封入した管の中で電子を加速し、通り抜けた電子による電流を測る。加速電圧を $0$ から少しずつ上げていくと、電流はいったん増えたあと $4.9\mathrm{V}$ で急に落ち、また増えて $9.8\mathrm{V}$ で落ち、$14.7\mathrm{V}$ でも落ちる。

$h=6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$、$c=3.0\times 10^{8}m/s$、電子の質量 $m=9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、$e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。

(1) この結果から、水銀原子について何が分かるか。また電子が水銀原子にエネルギーを渡すために必要な最小のエネルギーを J で求めよ。

(2) そのエネルギーをもつ電子の速さを求めよ。

(3) エネルギーを受け取った水銀原子が、もとの状態にもどるときに出す光の波長を求めよ。それは可視光か。

(4) 加速電圧を $15\mathrm{V}$ にしたとき、$1$ 個の電子は最大で何回まで水銀原子にエネルギーを渡せるか。

古典的に考えると、原子核のまわりを回る電子は電磁波を出してエネルギーを失い、原子核に落ちこんでしまう。しかし実際の原子はつぶれない。その理由を、次のような見積もりで考える。

電子を大きさ $r$ の範囲に閉じこめると、不確定性関係から運動量の大きさは $p\approx \frac{h}{2\pi r}$ 程度になる。そこで、水素原子のエネルギーを

$$E(r)=\frac{h^2}{8{\pi }^{2}m{r}^2}-\frac{k{e}^2}{r}$$

と見積もる。第 $1$ 項が運動エネルギー、第 $2$ 項が電気的な位置エネルギーである。

$h=6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$、$m=9.1\times 10^{-31}\mathrm{kg}$、$k=9.0\times 10^9\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{C}}^2$、$e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$、${\pi }^2=9.87$ とする。

(1) $E(r)$ を最小にする $r$ を、$h,m,k,e$ で表せ。

(2) その値を計算し、水素原子の大きさ(約 $5\times 10^{-11}\mathrm{m}$)と比べよ。

(3) そのときのエネルギーを eV で求め、水素原子のイオン化エネルギー($13.6\mathrm{eV}$)と比べよ。

(4) この計算から、原子がつぶれない理由を説明せよ。

太陽の中心では、$4$ 個の水素の原子核が $1$ 個のヘリウムの原子核に変わる反応が起きている。

水素原子の質量を $1.0078\mathrm{u}$、ヘリウム原子の質量を $4.0026\mathrm{u}$、$1\mathrm{u}$ に相当するエネルギーを $931\mathrm{MeV}$、$1\mathrm{u}=1.66\times 10^{-27}\mathrm{kg}$ とする。

太陽が出す光の仕事率(光度)を $3.8\times 10^{26}\mathrm{W}$、太陽の質量を $2.0\times 10^{30}\mathrm{kg}$、$c=3.0\times 10^{8}m/s$、$1\mathrm{eV}=1.6\times 10^{-19}\mathrm{J}$、$1$ 年を $3.15\times 10^7\mathrm{s}$ とする。

(1) この反応 $1$ 回で放出されるエネルギーを MeV で求めよ。

(2) 太陽は $1$ 秒あたり何 kg の質量を失っているか。

(3) 太陽の質量の $10\%$ の水素がこの反応に使えるとして、取り出せるエネルギーの合計を求めよ。

(4) (3) のエネルギーを現在の光度で出し続けるとして、太陽が輝いていられる年数を求めよ。

ウラン $238$(半減期 $4.5\times 10^9$ 年)は、いくつかの崩壊を経てラジウム $226$(半減期 $1600$ 年)になり、ラジウムはさらに崩壊していく。

地中で長い時間が経ったウラン鉱石では、途中の核種の量が変化しなくなり、一定に保たれる。この状態を放射平衡という。

崩壊定数 $\lambda$ と半減期 $T$ の間には $\lambda =\frac{{\log }_{e}2}{T}$ の関係があり、$1$ 秒あたりの崩壊数は $\lambda N$ で表される。アボガドロ定数を $6.0\times 10^{23}/\mathrm{mol}$ とする。

(1) 量が変化しない条件を、ウランとラジウムの崩壊定数と個数で表せ。

(2) ラジウムとウランの原子数の比 $\frac{N_2}{N_1}$ を、半減期で表せ。値も求めよ。

(3) ウラン $1\mathrm{kg}$(原子量 $238$)に含まれるウランの原子数を求めよ。

(4) そのウランと放射平衡にあるラジウム($226$)の質量を mg 単位で求めよ。

結晶の中では原子が規則正しく並び、平行な原子の面が間隔 $d=2.0\times 10^{-10}\mathrm{m}$ でならんでいる。この結晶に波長 $\lambda =1.5\times 10^{-10}\mathrm{m}$ の X 線を、原子面と角 $\theta$ をなす向きから当てる。

強い反射が観測される条件(ブラッグの条件)は

$$2d\sin \theta =n\lambda (n=1,2,3,\cdots )$$

である。$h=6.6\times 10^{-34}\mathrm{J}\cdot \mathrm{s}$、$c=3.0\times 10^{8}m/s$、$e=1.6\times 10^{-19}\mathrm{C}$ とする。

(1) 隣り合う原子面で反射した X 線の行路差が $2d\sin \theta$ になることを、図を用いて説明せよ。

(2) $n=1$ と $n=2$ に対する $\theta$ を求めよ。$\sin 22.0^{\circ }=0.375$、$\sin 48.6^{\circ }=0.750$ とする。

(3) この波長では何次の反射まで観測できるか。

(4) X 線管の加速電圧を $1.0\times 10^4\mathrm{V}$ にしたときに出る X 線の最短波長を求めよ。その波長では何次まで観測できるか。