ウラン鉱石の中のラジウム

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「量が一定に保たれる」という言葉を、そのまま式に翻訳する。

ラジウムはウラン(の系列)から供給され、自分自身も崩壊して減る。量が変わらないなら、$1$ 秒あたりの「増える数」と「減る数」が等しいはずである。

崩壊数は $\lambda N$ と与えられているので、この釣り合いは ${\lambda }_1{N}_1={\lambda }_2{N}_2$ と書ける。あとは半減期に直すだけである。

① 釣り合いの条件。 ウランが崩壊する数だけラジウムが供給され、ラジウムが崩壊する数だけ失われる。

$${\lambda }_1{N}_1={\lambda }_2{N}_2$$

② 個数の比。 $\lambda =\frac{{\log }_{e}2}{T}$ を代入すると、${\log }_{e}2$ が両辺で約分される。

$$\frac{N_2}{N_1}=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}=\frac{T_2}{T_1}=\frac{1600}{4.5\times 10^9}\approx 3.6\times 10^{-7}$$

半減期の短いものほど少ししか存在できない。すぐ壊れてしまうからである。

③ ウランの原子数。

$$N_1=\frac{1000\mathrm{g}}{238g/mol}\times 6.0\times 10^{23}\approx 2.5\times 10^{24}\text{個}$$

④ ラジウムの質量。

$$N_2=2.5\times 10^{24}\times 3.6\times 10^{-7}\approx 9.0\times 10^{17}\text{個}$$

$$m=\frac{9.0\times 10^{17}}{6.0\times 10^{23}}\times 226\approx 3.4\times 10^{-4}\mathrm{g}=0.34\mathrm{mg}$$

ウラン $1\mathrm{kg}$ に対してラジウムは $0.34\mathrm{mg}$ である。キュリー夫妻がラジウムを取り出すのに何トンもの鉱石を処理した理由が、この数字に現れている。

まとめ 放射平衡の条件は「崩壊数が等しい」であって「個数が等しい」ではない。個数の比は半減期の比になる。

発展 — 一歩先へ。 ② の結果は「短命な核種ほど少ない」ことを示すが、逆に読むと「鉱石の中の比を測れば半減期の比が分かる」ということでもある。

実際、ラジウムの半減期は、ウラン鉱石中の存在比と、ウランの半減期から求められた。直接 $1600$ 年待つことはできないので、平衡の関係が測定の手段になっている。

また、この関係は年代測定の前提でもある。閉じた系で十分な時間が経っていれば、途中の核種は平衡にあるとみなせるので、親と最終生成物(鉛)の比だけを見ればよい。放射平衡は、地球の年齢を測る土台になっている。

別解

時間変化を追って平衡に近づくのを見るルート。 ① の条件は「そうなっている」と仮定したが、なぜそこへ落ち着くのかを見ておくと納得できる。

ラジウムの個数の変化は、$\Delta t$ の間に

$$\Delta N_2={\lambda }_1{N}_1\Delta t-{\lambda }_2{N}_2\Delta t$$

である。第 $1$ 項は供給、第 $2$ 項は自分の崩壊である。

はじめラジウムが $0$ なら、第 $2$ 項も $0$ なので $N_2$ は増える。増えるにつれて第 $2$ 項が大きくなり、増え方が鈍る。そして ${\lambda }_2{N}_2$ が ${\lambda }_1{N}_1$ に追いついたところで増加が止まる。

ウランの半減期は桁違いに長いので、この間 $N_1$ はほとんど変わらない。したがって $N_2$ は、ばねが伸びきるように一定値へ近づいていく。

近づく速さを決めるのは、ラジウム自身の半減期である。$1600$ 年で平衡値の半分、$8000$ 年($5$ 回分)で $97\%$ に達する。地質学的な時間から見れば一瞬で、だから鉱石は必ず平衡状態にある。

「なぜその状態に落ち着くのか」を追っておくと、平衡の式を丸暗記せずに済む。