X 線の最短波長

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 X 線発生は光電効果の逆過程——電子の運動エネルギーが光子に変わる。1 個の電子のエネルギー $eV$ がまるごと 1 個の光子になったとき、最も高エネルギー(最短波長)の X 線が出る。

① 式を立てる。 最短波長では $\frac{hc}{{\lambda }_{min}}=eV$(電子の全エネルギーが光子に):

$${\lambda }_{min}=\frac{hc}{eV}$$

② 代入する。

$${\lambda }_{min}=\frac{6.6\times 10^{-34}\times 3.0\times 10^8}{1.6\times 10^{-19}\times 1.0\times 10^4}=\frac{1.98\times 10^{-25}}{1.6\times 10^{-15}}\approx 1.2\times 10^{-10}\mathrm{m}$$

まとめ ${\lambda }_{min}=\frac{hc}{eV}$——加速電圧が高いほど短波長(高エネルギー)の X 線が出る。実際の X 線は、この最短波長を境に連続的に広がる(制動 X 線: 電子が部分的にエネルギーを失うと長波長になる)。$1.2\times 10^{-10}\mathrm{m}$ は原子サイズ——だから X 線は結晶で回折し(X 線回折)、物質の原子配列を調べられる(DNA の二重らせんもこれで発見された)。医療の X 線撮影も、この波長が体を透過することを使っている。

別解

光電効果との対応で覚えるルート。 光電効果は「光子 → 電子の運動エネルギー」($K_{max}=h\nu -W$)、X 線発生は「電子の運動エネルギー → 光子」($h{\nu }_{max}=eV$)——エネルギー変換の向きが逆。仕事関数 $W$ が無視できる(電子の全エネルギーが光子になる理想)場合が最短波長である。

「光子↔電子」の双方向変換として光電効果と X 線発生を対にすると、$E=h\nu =(電子のエネルギー)$ という 1 つの関係の 2 つの向きだと分かる。