物理 / 原子

ボーア模型のエネルギー準位の導出

★★★ 応用原子構造ボーア模型導出

問題

水素原子で、電子(質量 $m$ 、電荷 $- e$ )が陽子(電荷 $+ e$ )のまわりを半径 $r$ 、速さ $v$ で等速円運動している。クーロン力が向心力となる。(1) 運動方程式を書け。 (2) 量子条件 $m v r = \frac{nh}{2 π}$ と合わせると、半径が $r_{n} \propto n^{2}$ となることを示せ。 (3) エネルギーが $E_{n} \propto - \frac{1}{n ^{2}}$ となることを、言葉で説明せよ。

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(1) は円運動の運動方程式(向心力=クーロン力)。(2) は運動方程式と量子条件から v を消去して r を求める——n² に比例することを導く。(3) は全エネルギー(運動エネルギー+位置エネルギー)を r で書き、r∝n² を入れる。基礎の En=−13.6/n² が理論から出てくる。

解答・解説

方針

クーロン力=向心力の運動方程式+量子条件の連立。vを消去してrn∝n²。全エネE=K+U=−ke²/2r に代入してEn∝−1/n²。準位のとびとびが導ける。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 基礎で天下りに使った $E_{n} = - \frac{13.6}{n ^{2}}$ を、運動方程式(古典)+ 量子条件(ボーア)の連立で導く。ミクロの力学と量子化を組み合わせる、原子物理の金字塔である。

① 運動方程式。 クーロン力が向心力:

$\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{k e ^{2}}{r ^{2}}$

より $v^{2} = \frac{k e ^{2}}{m r}$ 。

② 半径の量子化。 量子条件 $m v r = \frac{nh}{2 π}$ から $v = \frac{nh}{2 π m r}$ 。これを $v^{2} = \frac{k e ^{2}}{m r}$ に代入:

$(\frac{nh}{2 π m r})^{2} = \frac{k e ^{2}}{m r} ⟹ r_{n} = \frac{n ^{2} h ^{2}}{4 π ^{2} mk e ^{2}} \propto n^{2}$

半径は $n^{2}$ に比例(とびとび)。

③ エネルギーの量子化。 全エネルギーは運動エネルギー $\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{k e ^{2}}{2 r}$ と位置エネルギー $- \frac{k e ^{2}}{r}$ の和:

$E = \frac{k e ^{2}}{2 r} - \frac{k e ^{2}}{r} = - \frac{k e ^{2}}{2 r}$

$r \propto n^{2}$ を入れると

$E_{n} \propto - \frac{1}{n ^{2}}$

係数を計算すると $E_{n} = - \frac{13.6}{n ^{2}} eV$ になる。

まとめ 「運動方程式(なぜ回れるか)+ 量子条件(なぜとびとびか)」——古典力学だけでは電子が核に落ち込むはず(加速する電荷は電磁波を出してエネルギーを失う)だったが、量子条件が定常波の軌道だけを許すことで原子が安定する。全エネルギーが $- \frac{k e ^{2}}{2 r}$ (位置エネルギーの半分の符号)になるのは、円運動でビリアル定理( $K = - \frac{1}{2} U$ )が効くため。この導出が、水素スペクトル(基礎・標準)の $\frac{1}{λ} = R (\frac{1}{n _{1}^{2}} - \frac{1}{n _{2}^{2}})$ を第一原理から説明した——ボーアがノーベル賞を得た仕事である。

答

(1) $\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{k e ^{2}}{r ^{2}}$ (クーロン力=向心力) (2) 運動方程式から $v^{2} = \frac{k e ^{2}}{m r}$ 、量子条件 $v = \frac{nh}{2 π m r}$ を代入して $r$ を解くと $r_{n} \propto n^{2}$ (3) 全エネルギー(運動+位置)は $- \frac{k e ^{2}}{2 r}$ で、 $r \propto n^{2}$ を入れると $E_{n} \propto - \frac{1}{n ^{2}}$ になる

別解

エネルギーの比だけ確かめるルート。 導出の細部が難しくても、 $r_{n} \propto n^{2}$ と $E \propto - \frac{1}{r}$ の 2 つから $E_{n} \propto - \frac{1}{n ^{2}}$ は出る。 $\frac{E _{2}}{E _{1}} = \frac{n _{1}^{2}}{n _{2}^{2}} = \frac{1}{4}$ ——基礎の $\frac{- 3.4}{- 13.6} = \frac{1}{4}$ と一致。

「 $r \propto n^{2}$ 、 $E \propto - \frac{1}{r}$ だから $E \propto - \frac{1}{n ^{2}}$ 」という比例関係の連鎖だけ押さえれば、係数( $13.6$ )を導けなくても準位の構造は理解できる——導出の骨格を掴む練習である。

ポイント

運動方程式+量子条件の連立
rn∝n²、En∝−1/n²
古典では落ち込む原子を量子条件が救う

よくある間違い

全エネルギーを K だけ(または U だけ)にする
v の消去でべきを誤る
位置エネルギーの符号を落とす