X 線で結晶をのぞく(ブラッグ反射)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 結晶による X 線の反射は、鏡の反射とは違う。原子の面が何層も重なっていて、それぞれで反射した波が重なり合う。

強め合うのは、隣り合う面からの波の行路差が波長の整数倍になるときである。だから行路差を幾何で書き切ることが第一歩になる。

行路差さえ出れば、あとは干渉の条件と、$\sin \theta \le 1$ という制約だけで答えが決まる。

① 行路差。 上の面で反射する波と、$1$ つ下の面で反射する波を比べる。下の面まで潜って戻る分だけ、余分に進む。

図のように垂線を下ろすと、余分な経路は $2$ つの直角三角形の辺として現れ、それぞれ $d\sin \theta$ である。往復で

$$2d\sin \theta$$

これが波長の整数倍のとき、$2$ つの波は強め合う。

② $1$ 次と $2$ 次の角。

$$\sin \theta =\frac{n\lambda }{2d}=\frac{n\times 1.5\times 10^{-10}}{2\times 2.0\times 10^{-10}}=0.375n$$

$n=1$ のとき $\sin \theta =0.375$ だから $\theta =22.0^{\circ }$。

$n=2$ のとき $\sin \theta =0.750$ だから $\theta =48.6^{\circ }$。

③ 何次まで見えるか。 $\sin \theta \le 1$ でなければならない。

$$0.375n\le 1⟹n\le 2.67$$

したがって $2$ 次までである。一般には

$$n\le \frac{2d}{\lambda }$$

で、波長が面の間隔の $2$ 倍を超えると、$1$ 次の反射さえ起きない。X 線を使う理由がここにある。可視光では波長が長すぎて、結晶の面の間隔を測れない。

④ 最短波長と次数。 加速された電子の運動エネルギーが、すべて $1$ 個の光子になったときが最短波長である。

$$eV=\frac{hc}{{\lambda }_{\min }}⟹{\lambda }_{\min }=\frac{hc}{eV}=\frac{6.6\times 10^{-34}\times 3.0\times 10^8}{1.6\times 10^{-19}\times 1.0\times 10^4}\approx 1.24\times 10^{-10}\mathrm{m}$$

この波長では

$$n\le \frac{2d}{{\lambda }_{\min }}=\frac{4.0\times 10^{-10}}{1.24\times 10^{-10}}\approx 3.2$$

$3$ 次まで観測できる。波長が短いほど、より高い次数まで見える。

まとめ ブラッグの条件は、行路差 $2d\sin \theta$ という幾何と、干渉の条件だけでできている。観測できる次数の上限は $\frac{2d}{\lambda }$ で、これが「結晶を調べるには X 線が要る」理由になっている。

発展 — 一歩先へ。 ブラッグの条件は、逆向きにも使える。波長の分かっている X 線を当てて角度を測れば、原子面の間隔 $d$ が求まる。これが X 線結晶構造解析で、物質の中の原子の並びを知る主要な方法になっている。

DNA の二重らせんが見つかったのも、この方法によるものである。

さらに、電子線でも同じことができる。電子のド・ブロイ波長は加速電圧で調整できるので、$50\mathrm{V}$ 程度に落とせば結晶の間隔と同じくらいの波長になり、回折像が現れる。デビッソンとガーマーはこれを観測して、電子が波でもあることを示した。

別解

波長のほうを未知にして読み替えるルート。 ② では波長を与えて角度を求めたが、実際の測定では逆に使うことが多い。

角度を連続的に変えながら反射の強さを測ると、いくつかの角度で鋭いピークが現れる。$n$ 番目のピークの角度を ${\theta }_n$ とすると

$$\sin {\theta }_n=\frac{n\lambda }{2d}$$

だから、$\sin {\theta }_n$ は $n$ に比例する。つまり測定値 $\sin {\theta }_1,\sin {\theta }_2,\cdots$ が等間隔に並ぶ。

この性質は検算に使える。今回の値なら $0.375,0.750$ とちょうど $2$ 倍で、確かに等間隔である。もし測定値が等間隔にならなければ、面の間隔が $1$ 種類ではない(別の向きの面も反射している)ことを意味する。

そして間隔の刻み $0.375$ から $\frac{\lambda }{2d}$ が読めるので、$d$ が既知なら波長が、$\lambda$ が既知なら $d$ が求まる。$1$ 本のグラフから未知の量を取り出す、実験的な使い方である。