光電子の最大の速さ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 光電効果で決まった運動エネルギーを、力学の $K=\frac{1}{2}m{v}^2$ で速さに翻訳する——量子論と力学の橋渡しである。

① 速さについて解く。

$$K_{max}=\frac{1}{2}m{v}^2⟹v=\sqrt{\frac{2K_{max}}{m}}$$

② 代入する。

$$v=\sqrt{\frac{2\times 1.6\times 10^{-19}}{9.1\times 10^{-31}}}=\sqrt{\frac{3.2\times 10^{-19}}{9.1\times 10^{-31}}}=\sqrt{3.5\times 10^{11}}\approx 5.9\times 10^{5}m/s$$

まとめ 飛び出した電子は秒速約 $6\times 10^{5}m/s$(光速の約 0.2 %)——十分速いが相対論を使うほどではない。「光子がエネルギーを渡す(量子論)→ 電子が速く飛ぶ(力学)」という流れで、$E=h\nu$ の世界と $\frac{1}{2}m{v}^2$ の世界がつながる。この速さは、光電子の運動を磁場で曲げたり(電流と磁場の単元)、阻止電圧で止めたり(応用)する計算の入口になる——量子論で生まれた電子も、飛び出した後は普通の力学に従う。

別解

運動量経由で確かめるルート。 $p=mv=\sqrt{2mK}=\sqrt{2\times 9.1\times 10^{-31}\times 1.6\times 10^{-19}}\approx 5.4\times 10^{-25}\mathrm{kg}\cdot m/s$。$v=\frac{p}{m}=\frac{5.4\times 10^{-25}}{9.1\times 10^{-31}}\approx 5.9\times 10^{5}m/s$——同じ答え。

$p=\sqrt{2mK}$ は「運動エネルギーと運動量の関係」($K=\frac{p^2}{2m}$)——ド・ブロイ波長 $\lambda =\frac{h}{p}$ を計算するときにも使う。エネルギーから運動量、運動量から波長・速さへ、と量子論の量が力学の量に接続していく。