半減期の一般式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 半減期の一般式は「半減期ごとに半分 → 経過が半減期の $\frac{t}{T}$ 回分」を指数で書いたもの。$\frac{1}{8}$ などは $\frac{1}{2}$ のべきに直すと $\frac{t}{T}$ が読める。

① 一般式。

$$\frac{N}{N_0}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T}$$

② 1/8 になる時間。 $\frac{1}{8}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3$ だから

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3⟹\frac{t}{T}=3,すなわちt=3T$$

③ 24 日後の個数。 $24日=3\times 8日=3T$ なので

$$N=8.0\times 10^{20}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=8.0\times 10^{20}\times \frac{1}{8}=1.0\times 10^{20}個$$

まとめ $N=N_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T}$——指数関数的な減衰の一般式。半減期の整数倍でなくても($t=1.5T$ など)${\left(\frac{1}{2}\right)}^{1.5}$ で計算できる。この式は年代測定の基礎: 木材の炭素 14(半減期 5700 年)の残量比 $\frac{N}{N_0}$ から、逆に $t=T{\log }_{1/2}\frac{N}{N_0}$ で年代を出す。放射性崩壊の「一定割合で減る」は、コンデンサーの放電($Q=Q_0{e}^{-t/RC}$)と同じ指数減衰——ミクロの原子核崩壊とマクロの回路が同じ数学に従う。

別解

対数で任意時刻に対応するルート。 $\frac{N}{N_0}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T}$ の両辺の対数を取ると $\log \frac{N}{N_0}=\frac{t}{T}\log \frac{1}{2}$——$t$ について解けば、残量比から経過時間が出る(年代測定の逆算)。$\frac{N}{N_0}=\frac{1}{8}$ なら $\frac{t}{T}=\frac{\log (1/8)}{\log (1/2)}=\frac{3\log (1/2)}{\log (1/2)}=3$。

「べきを対数で解く」——半端な割合(例: 30 % 残った)でも時間が出せる。指数と対数を行き来する練習が、放射年代測定の実際につながる。