電子回折とド・ブロイ波長

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 電子回折は「粒子である電子が波として振る舞う」ことの直接の証拠(デビッソン・ガーマーの実験)。ド・ブロイ波長が結晶の原子間隔と同程度だから回折が起きる。

① ド・ブロイ波長。

$$\lambda =\frac{h}{\sqrt{2meV}}=\frac{6.6\times 10^{-34}}{\sqrt{2\times 9.1\times 10^{-31}\times 1.6\times 10^{-19}\times 150}}\approx 1.0\times 10^{-10}\mathrm{m}$$

② 回折の意味。 回折は波に固有の現象(光の回折格子と同じ)——電子が回折したことは、電子が波の性質(物質波)を持つことの決定的な証拠である。粒子(ビリヤードの球)なら回折しない。

③ 電圧を 4 倍に。 $\lambda =\frac{h}{\sqrt{2meV}}\propto \frac{1}{\sqrt{V}}$ だから、$V$ を 4 倍にすると $\sqrt{V}$ が 2 倍、波長は半分:

$${\lambda }^{\prime }=\frac{1.0\times 10^{-10}}{2}=5.0\times 10^{-11}\mathrm{m}$$

まとめ $150\mathrm{V}$ の電子の波長 $\sim 0.1\mathrm{nm}$ は結晶の原子間隔と同程度——だから結晶が回折格子として働き、電子の波が干渉して模様を作る(X 線回折の電子版)。この実験(1927 年)がド・ブロイの物質波を実証し、量子力学を確立した。電圧を上げれば波長が短くなり、より細かい構造まで見える(電子顕微鏡の分解能向上)。「光電効果=光が粒、電子回折=粒が波」——波と粒子の二重性が、光と物質の両側から確かめられた。物理の最終単元にふさわしい、ミクロの世界の本質である。

別解

波長を原子間隔と比べるルート。 回折が起きる条件は「波長 ≈ 格子間隔」——$\lambda \sim 0.1\mathrm{nm}$ が結晶の原子間隔($\sim 0.1\sim 0.3\mathrm{nm}$)と同程度だから回折する。もし波長がずっと短ければ(高電圧)回折角が小さくなり、ずっと長ければ(低電圧)回折条件を満たさない。

「波長 ≈ 障害物のサイズ」で回折が顕著になるのは、光でも電子でも共通(波の単元)——電子の波長が原子サイズだからこそ、原子構造の解析に使える。二重性が実用技術(電子顕微鏡・電子回折)になっている。