物理 / 原子

原子はなぜつぶれないか

最難関編不確定性関係水素原子最小値

問題

古典的に考えると、原子核のまわりを回る電子は電磁波を出してエネルギーを失い、原子核に落ちこんでしまう。しかし実際の原子はつぶれない。その理由を、次のような見積もりで考える。

電子を大きさ $r$ の範囲に閉じこめると、不確定性関係から運動量の大きさは $p \approx \frac{h}{2 π r}$ 程度になる。そこで、水素原子のエネルギーを

$E (r) = \frac{h ^{2}}{8 π ^{2} m r ^{2}} - \frac{k e ^{2}}{r}$

と見積もる。第 $1$ 項が運動エネルギー、第 $2$ 項が電気的な位置エネルギーである。

$h = 6.6 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ 、 $m = 9.1 \times 1 0^{- 31} kg$ 、 $k = 9.0 \times 1 0^{9} N \cdot m^{2} / C^{2}$ 、 $e = 1.6 \times 1 0^{- 19} C$ 、 $π^{2} = 9.87$ とする。

(1) $E (r)$ を最小にする $r$ を、 $h, m, k, e$ で表せ。

(2) その値を計算し、水素原子の大きさ(約 $5 \times 1 0^{- 11} m$ )と比べよ。

(3) そのときのエネルギーを eV で求め、水素原子のイオン化エネルギー( $13.6 eV$ )と比べよ。

(4) この計算から、原子がつぶれない理由を説明せよ。

ヒントを見る

$2$ つの項は $r$ に対してどんな増え方・減り方をするか。両者のせめぎ合いから何が決まるか。

解答・解説

方針

$E (r)$ は $r$ が小さいと第 $1$ 項が急に大きくなり、 $r$ が大きいと第 $2$ 項が $0$ に近づく。したがって途中に最小値がある。微分して $0$ とおけばその位置が決まる。出てきた値を実際の水素原子と比べるのがこの問題の眼目である。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 古典物理では、電子は原子核に落ちこんでしまう。落ちこむほど位置エネルギーが下がるので、それを止めるものがないからである。

量子論では事情が変わる。狭い範囲に閉じこめるほど運動量の不確定さが大きくなり、運動エネルギーが増える。閉じこめには「代償」があるのである。

だから「下がろうとする位置エネルギー」と「上がろうとする運動エネルギー」がつり合う大きさで、原子は安定する。あとはその最小値を探すだけの計算になる。

① 最小をとる $r$ 。 $E (r) = \frac{A}{r ^{2}} - \frac{B}{r}$ ( $A = \frac{h ^{2}}{8 π ^{2} m}$ 、 $B = k e^{2}$ )とおいて微分する。

$\frac{d E}{d r} = - \frac{2 A}{r ^{3}} + \frac{B}{r ^{2}} = 0$

両辺に $r^{3}$ を掛けて

$- 2 A + B r = 0 ⟹ r = \frac{2 A}{B} = \frac{h ^{2}}{4 π ^{2} mk e ^{2}}$

② 大きさの計算。

$r = \frac{( 6.6 \times 1 0 ^{- 34} ) ^{2}}{4 \times 9.87 \times 9.1 \times 1 0 ^{- 31} \times 9.0 \times 1 0 ^{9} \times ( 1.6 \times 1 0 ^{- 19} ) ^{2}}$

分子は $4.36 \times 1 0^{- 67}$ 、分母は $4 \times 9.87 \times 9.1 \times 1 0^{- 31} \times 2.30 \times 1 0^{- 28} \approx 8.3 \times 1 0^{- 57}$ だから

$r \approx 5.3 \times 1 0^{- 11} m$

実際の水素原子の大きさとほぼ一致する。これはボーア半径とよばれる値である。

③ エネルギー。 $r = \frac{2 A}{B}$ を $E$ に入れる。

$E = \frac{A}{r ^{2}} - \frac{B}{r} = \frac{B ^{2}}{4 A} - \frac{B ^{2}}{2 A} = - \frac{B ^{2}}{4 A}$

数値を入れると

$E \approx - 2.2 \times 1 0^{- 18} J = \frac{- 2.2 \times 1 0 ^{- 18}}{1.6 \times 1 0 ^{- 19}} \approx - 13.7 eV$

水素原子のイオン化エネルギー $13.6 eV$ とほぼ一致する。負号は「無限に離した状態より $13.7 eV$ 低い」ことを表し、そのぶんのエネルギーを与えれば電子を引きはがせる。

④ つぶれない理由。 $r$ を小さくしていくと、位置エネルギーは $- \frac{1}{r}$ で下がるが、運動エネルギーは $\frac{1}{r ^{2}}$ で上がる。

$2$ 乗のほうが速いので、ある大きさより小さくすると、合計はかえって増えてしまう。だから電子は落ちこみ続けられない。

言いかえれば、原子の大きさは「閉じこめの代償」と「引力の得」がつり合う点で決まっている。

エネルギーの見積もり(横軸は 10⁻¹⁰ m、縦軸は eV)。2 つの項の和(青)に谷があり、その位置と深さが原子の大きさとイオン化エネルギーにあたる。

まとめ 不確定性関係とクーロン力だけを使った $1$ 行の見積もりで、原子の大きさとイオン化エネルギーの両方が正しく出る。原子が安定に存在できる理由が、この計算に凝縮されている。

発展 — 一歩先へ。 ③ の途中で $E = - \frac{B ^{2}}{4 A}$ を出したが、このとき運動エネルギーは $\frac{B ^{2}}{4 A}$ 、位置エネルギーは $- \frac{B ^{2}}{2 A}$ である。つまり

$(運動エネルギー) : (位置エネルギー) = 1 : - 2$

という関係になっている。これはビリアル定理とよばれ、逆 $2$ 乗の引力で束縛された系につねに成り立つ。

万有引力で回る惑星でも同じ比が成り立つ。原子と太陽系という、大きさが $20$ 桁以上も違う $2$ つの系が、力の形が同じというだけで同じ関係を共有している。

答

$r = \frac{h ^{2}}{4 π ^{2} mk e ^{2}}$ 、 $5.3 \times 1 0^{- 11} m$ で実際の水素原子とほぼ一致、 $- 13.7 eV$ でイオン化エネルギーとほぼ一致、狭く閉じこめるほど運動エネルギーが $\frac{1}{r ^{2}}$ で増えるため

別解

グラフの形から先に読み取るルート。 微分の計算をする前に、 $2$ つの項の形だけで結論の見当がつく。

$\frac{A}{r ^{2}}$ は $r$ が小さいほど急激に大きくなり、 $r$ が大きいと速やかに $0$ に近づく。 $- \frac{B}{r}$ はつねに負で、 $r$ が小さいほど深い。

$r \to 0$ では $\frac{1}{r ^{2}}$ が $\frac{1}{r}$ に勝つので、合計は $+ \infty$ に発散する。 $r \to \infty$ では両方 $0$ に近づく。

したがって合計は「小さいところで正の壁、遠くで $0$ 」の形をしており、途中に必ず谷底がある。この谷底が原子の大きさである。

$r \to 0$ での競り合いを「 $\frac{1}{r ^{2}}$ が勝つ」と見抜けるかどうかが要点で、これが分かれば「原子はつぶれない」という結論は微分の前に決まる。

グラフの $2$ 本の曲線と、その和の谷は図に示したとおりである。数値計算は、谷の位置と深さを求める作業にすぎない。

ポイント

狭く閉じこめるほど運動エネルギーが増える(1/r²)
位置エネルギーの下がり方(1/r)より速いので、途中に最小値がある
最小の位置は 5.3×10⁻¹¹ m でボーア半径、深さは −13.7 eV でイオン化エネルギー
運動エネルギーと位置エネルギーの比は 1:−2(ビリアル定理)

よくある間違い

位置エネルギーだけを見て「落ちこむほど安定」と結論する
最小値を求めるのに r→0 を考えてしまう(そこは発散する)
エネルギーの符号を落として +13.7 eV としてしまう