水素スペクトルの系列

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 水素スペクトルは「落ち込む先 $n_1$」で系列に分かれる——$n_1$ が深い(小さい)ほど準位差が大きく短波長になる。系列の構造を整理する。

① ライマン系列の $n_2=2$。

$$\frac{1}{\lambda }=R\left(\frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^2}\right)=1.1\times 10^7\times \frac{3}{4}\approx 8.25\times 10^6⟹\lambda \approx 1.2\times 10^{-7}\mathrm{m}(紫外)$$

② 各系列の波長域。

• ライマン系列($n_1=1$): 最も深い準位への遷移=準位差最大=紫外
• バルマー系列($n_1=2$): やや浅い=準位差が中程度=可視

(さらに $n_1=3$ のパッシェン系列は赤外。)

③ 系列限界。 $n_2\to \infty$ では $\frac{1}{n_2^2}\to 0$ なので

$$\frac{1}{\lambda }=\frac{R}{n_1^2}(最大)$$

$\frac{1}{\lambda }$ が最大=波長が最短。これより短い波長の線は出ない(=系列限界)。$n_2=\infty$ は自由になった電子が $n_1$ に落ちる遷移(=イオン化の逆)に対応する。

まとめ 「$n_1$ で系列(波長域)が決まり、$n_2$ で系列内の各線が決まる」——$n_2$ が大きくなるほど線が系列限界に集積する(準位が $E=0$ に集積するのと対応)。各系列限界は $\lambda =\frac{n_1^2}{R}$ で、ライマン限界は約 91 nm。この規則正しい線スペクトルが、ボーア模型(応用 a02)で完全に説明され、量子論の正しさを実証した。星や星雲の水素スペクトルを観測すれば、宇宙のどこでも同じ物理法則が成り立っていることが分かる——スペクトルは宇宙共通の指紋である。

別解

準位図で系列を見るルート。 エネルギー準位図で、$n_1=1$ へ落ちる矢印(ライマン)は最も長く(準位差大=短波長)、$n_1=2$(バルマー)、$n_1=3$(パッシェン)と落ち先が浅くなるほど矢印が短い(準位差小=長波長)。各系列内では $n_2$ が大きいほど矢印が長く(準位差大)、$n_2=\infty$ で系列限界。

「準位図の矢印の長さ=準位差=光子エネルギー」——矢印で系列を整理すると、どの遷移がどの波長域かが一目で分かる。準位図はスペクトルの設計図である。