ド・ブロイ波長

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 光が粒子性を持つなら、逆に粒子も波の性質を持つ(ド・ブロイの大胆な発想)——その波長が $\lambda =\frac{h}{mv}$。運動量 $p=mv$ で割る。

① 代入する。

$$\lambda =\frac{h}{mv}=\frac{6.6\times 10^{-34}}{9.1\times 10^{-31}\times 1.0\times 10^6}=\frac{6.6\times 10^{-34}}{9.1\times 10^{-25}}\approx 7.3\times 10^{-10}\mathrm{m}$$

まとめ 電子の波長は $\sim 10^{-10}\mathrm{m}$(原子サイズ)——だから電子は原子や結晶によって回折・干渉する(波の証拠)。実際、電子線を結晶に当てると回折模様が現れ(電子回折)、物質波が実在することが確かめられた。この波長が原子サイズだからこそ、電子顕微鏡は光(可視光は $\sim 10^{-7}\mathrm{m}$)よりずっと細かいものを見られる。「粒子も波」という二重性が、量子力学の土台である。日常の物体($mv$ が巨大)は波長が極端に短く波動性が見えない。

別解

なぜ日常では波に見えないかのルート。 質量 $1\mathrm{g}$、速さ $1m/s$ の物体なら $\lambda =\frac{6.6\times 10^{-34}}{10^{-3}\times 1}\approx 7\times 10^{-31}\mathrm{m}$——原子核($10^{-15}\mathrm{m}$)よりはるかに小さく、波動性は絶対に観測できない。

「波長 $\propto \frac{1}{mv}$」だから、軽い粒子(電子)ほど波長が長く波らしく、重い物体ほど波長が短く粒らしい——二重性はいつでもあるが、$mv$ の大小で「どちらの顔が見えるか」が決まる。