放出される光の波長

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 光子のエネルギー $E=\frac{hc}{\lambda }$ を波長について解くだけでよい。ただしエネルギーはジュールに直しておく。

① 代入する。 $\Delta E=10.2\mathrm{eV}=10.2\times 1.6\times 10^{-19}\mathrm{J}$:

$$\lambda =\frac{hc}{\Delta E}=\frac{6.6\times 10^{-34}\times 3.0\times 10^8}{10.2\times 1.6\times 10^{-19}}=\frac{1.98\times 10^{-25}}{1.63\times 10^{-18}}\approx 1.2\times 10^{-7}\mathrm{m}$$

まとめ $1.2\times 10^{-7}\mathrm{m}=120\mathrm{nm}$ は、紫外線の波長である($n\to 1$ の遷移はライマン系列と呼ばれ、すべて紫外)。可視光($400\sim 700\mathrm{nm}$)になるのは $n\to 2$ の遷移(バルマー系列、標準)。準位差が大きいほど短波長(高エネルギー)になる。$n=2\to 1$ は基底状態への遷移で準位差が最大級なので、紫外という短波長になる。$\lambda =\frac{hc}{\Delta E}$ で、原子のとびとびの準位が観測される決まった波長のスペクトル線に対応する。

別解

波長の目安を覚えるルート。 「$1\mathrm{eV}$ の光子 ≈ 波長 $1240\mathrm{nm}$」という便利な関係($\lambda [\mathrm{nm}]=\frac{1240}{E[\mathrm{eV}]}$)を使うと、$\lambda =\frac{1240}{10.2}\approx 122\mathrm{nm}$ と暗算できる。この「$1240$ の割り算」はエネルギー(eV)と波長(nm)の換算でよく使う。原子物理・光の問題で頻繁に出るので、$\lambda [\mathrm{nm}]\approx \frac{1240}{E[\mathrm{eV}]}$ を覚えておくとよい。