水素原子のエネルギー準位

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 水素原子の電子は、とびとびのエネルギー準位しか取れない(量子化)。式に $n$ を代入し、負の符号の意味まで読む。

① 基底状態と n=2。

$$E_1=-\frac{13.6}{1^2}=-13.6\mathrm{eV},E_2=-\frac{13.6}{2^2}=-\frac{13.6}{4}=-3.4\mathrm{eV}$$

② 負の意味。 エネルギーの基準($E=0$)は「電子が原子核から無限に離れて自由になった状態」。束縛された電子はそれより低い(負の)エネルギーを持つ——エネルギーを与えないと原子から自由になれないことを表す。

まとめ 「負=束縛」——井戸の底にいる電子のイメージ(井戸から出るには外部からエネルギーが要る)。$n=1$ が最も深い(最も安定な基底状態)、$n$ が大きいほど浅く($E\to 0$)、$n=\infty$ で自由になる。準位がとびとび(連続でない)なのが古典物理と決定的に違う点で、これが原子の安定性と、次の「決まった波長の光の放出」を説明する。$13.6\mathrm{eV}$ は水素の基底状態の深さで、後のイオン化エネルギー(標準)と直結する。

別解

準位の間隔に注目するルート。 $E_1=-13.6$、$E_2=-3.4$、$E_3=-1.5$、$E_4=-0.85\mathrm{eV}$——$n$ が大きくなるほど準位が密集する($-\frac{1}{n^2}$ だから)。エネルギーの高い準位ほど間隔が狭く、$E=0$ に向かって無限に集積する。

この「上ほど密」な準位構造が、水素スペクトルの系列(標準)の線の並び方(短波長側で密集)を決める——準位図を描いておくと、スペクトルの構造が予言できる。