電子の運動量

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 運動量 $p=mv$ は粒子性の量、波長 $\lambda$ は波動性の量——ド・ブロイの式 $\lambda =\frac{h}{p}$ が両者を橋渡しする。これが二重性の数式表現である。

① 運動量。

$$p=mv=9.1\times 10^{-31}\times 1.0\times 10^6=9.1\times 10^{-25}\mathrm{kg}\cdot m/s$$

② 波長との関係。

$$\lambda =\frac{h}{p}(運動量と波長は反比例)$$

まとめ $\lambda p=h$——運動量と波長の積がプランク定数という普遍定数になる。光子でも同じ($p=\frac{h}{\lambda }=\frac{E}{c}$)——粒子性($p$)と波動性($\lambda$)を $h$ が結ぶのは、光でも電子でも共通の量子論の法則である。だから「電子は粒子か波か」という問いは無意味で、両方の顔を持ち、$h$ で結ばれているが正しい。$h$ という小さな定数($10^{-34}$)が、ミクロの世界でだけ二重性を顕在化させる。

別解

光子と電子を並べるルート。 光子: $p=\frac{h}{\lambda }$、$E=h\nu$。電子: $p=\frac{h}{\lambda }$(同じ形!)、$E=\frac{p^2}{2m}$。運動量と波長の関係 $p=\frac{h}{\lambda }$ は光でも物質でも共通——これが「あらゆるものが波と粒子の二重性を持つ」ことの表れである。

光と電子で $p=\frac{h}{\lambda }$ が共通なことを並べて見ると、ド・ブロイが「光がそうなら電子もそうだろう」と考えた思考の道筋が追える。