コンプトン効果の波長変化

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 標準のコンプトン効果の問題を、定量的に扱う。式に $\theta =90°$ を代入するだけだが、「波長の伸びが入射波長によらない」という特徴に注目する。

① 波長の伸び。 $\cos 90°=0$ より

$$\Delta \lambda =\frac{h}{mc}(1-\cos 90°)=\frac{h}{mc}=\frac{6.6\times 10^{-34}}{9.1\times 10^{-31}\times 3.0\times 10^8}=\frac{6.6\times 10^{-34}}{2.73\times 10^{-22}}\approx 2.4\times 10^{-12}\mathrm{m}$$

② 入射波長によらない理由。 コンプトンの式 $\Delta \lambda =\frac{h}{mc}(1-\cos \theta )$ には入射波長 $\lambda$ が現れない。波長の伸び $\Delta \lambda$ は散乱角 $\theta$ だけで決まる。$\frac{h}{mc}$(コンプトン波長)は電子の質量と光速で決まる普遍定数である。

まとめ $\frac{h}{mc}=2.4\times 10^{-12}\mathrm{m}$(電子のコンプトン波長)は、光子と電子の衝突での「波長の物差し」になる。散乱角 $90°$ でこの分だけ伸び、$180°$(真後ろ)で最大 $2\times \frac{h}{mc}$ 伸びる。この式は光子を運動量 $\frac{h}{\lambda }$ の粒子とみなし、電子との衝突で運動量保存・エネルギー保存を立てて導かれる。光電効果(光子のエネルギー)に続いて、光子が運動量を持つ粒子であることを示す証拠になった。「$\Delta \lambda$ が入射波長によらず散乱角だけで決まる」という予言が実験と一致したことが、光子説の勝利を確定させた。光が波と粒子の二重性をもつことが、これで確かめられた。

別解

相対的な効果の大きさを見るルート。 可視光($\lambda \sim 5\times 10^{-7}\mathrm{m}$)では $\frac{\Delta \lambda }{\lambda }\sim \frac{2.4\times 10^{-12}}{5\times 10^{-7}}\sim 5\times 10^{-6}$ となり、伸びが小さすぎて観測できない。X 線($\lambda \sim 10^{-11}\mathrm{m}$)なら $\frac{\Delta \lambda }{\lambda }\sim 0.2$ と大きい。だからコンプトン効果は X 線で観測される。

$\Delta \lambda$ は絶対値では一定だが、相対的には短波長(X 線)ほど影響が大きい。コンプトン効果が X 線・γ線で見られる現象なのは、このためである。波長の物差し $\frac{h}{mc}$ に対して入射波長が小さいほど、効果が目立つ。