放射能と半減期の応用

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 (1)は半減期の計算、(2)(3)は「放射能は個数に比例する」という原理がポイント。放射能(毎秒の崩壊数)は残っている核の数に比例するので、個数と同じ割合で減る。

① 24 日後の個数。 $24日=3\times 8日=3$ 半減期:

$$N=1.0\times 10^{20}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=1.0\times 10^{20}\times \frac{1}{8}=1.25\times 10^{19}個$$

② 放射能の比。 放射能は個数に比例するから、個数と同じく

$$\frac{1}{8}倍$$

③ 比例する理由。 各原子核が単位時間に崩壊する確率は時間によらず一定(核が「歳を取る」ことはない)。だから全体の崩壊数(放射能)は、そのとき残っている個数に比例する。

まとめ 「放射能 $\propto$ 個数」——だから放射能も $N=N_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T}$ と同じ指数減衰をする(半減期ごとに半分)。(3)の「崩壊確率が一定」が、指数減衰の根本原因である: 毎秒一定割合ずつ減る → 指数関数。これはコンデンサーの放電(毎秒一定割合の電荷が流出)と同じ数学。放射能が個数に比例することを使うと、測定した放射能から残っている核の数、さらに年代(炭素 14 法)が分かる。「1 個の崩壊は完全にランダムだが、多数集まると確率的に規則正しく減る」——ミクロのランダムさがマクロの規則性を生む、統計物理の入口でもある。物理の最終問題として、量子的なランダムさと決定論的な減衰法則の関係を味わいたい。

別解

放射能の定義から見るルート。 放射能 $A=\lambda N$($\lambda$: 崩壊定数=1 個あたり毎秒の崩壊確率、$N$: 個数)。$\lambda$ は一定なので $A\propto N$——個数が $\frac{1}{8}$ になれば放射能も $\frac{1}{8}$。崩壊定数と半減期は $\lambda =\frac{\ln 2}{T}$ で結ばれる。

「放射能=崩壊定数×個数」という定義式を持つと、(2)(3)が一目で分かる——$\lambda$ が定数だから $A$ と $N$ が同じ割合で減る。個数を直接数えられなくても、放射能(測定可能)から個数が分かる。