エネルギー準位を電子でたたいて測る

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 スペクトルの観測は「原子が出す光」を見る間接的な方法である。この実験はそうではなく、電子を直接ぶつけて原子のエネルギー準位を測っている。

もし原子がどんなエネルギーでも受け取れるなら、電流はなめらかに変化するはずである。ところが決まった電圧でだけ急に落ちる。

これは「原子が受け取れるエネルギーが決まった値だけ」であることの、直接の証拠になる。

① 分かること。 $4.9\mathrm{V}$ で加速された電子は、$4.9\mathrm{eV}$ の運動エネルギーをもつ。ちょうどこの値で電流が落ちるのは、電子がこのエネルギーを水銀原子に渡して、自分はほとんど止まってしまうからである。

それより低い電圧では、電子はエネルギーを渡せない。渡せる値が決まっているからである。

つまり水銀原子のエネルギー準位はとびとびで、基底状態からいちばん近い状態までの間隔が $4.9\mathrm{eV}$ である。

$$E=4.9\times 1.6\times 10^{-19}=7.8\times 10^{-19}\mathrm{J}$$

② 電子の速さ。

$$\frac{1}{2}m{v}^2=E⟹v=\sqrt{\frac{2E}{m}}=\sqrt{\frac{2\times 7.8\times 10^{-19}}{9.1\times 10^{-31}}}\approx 1.3\times 10^{6}m/s$$

光速の $0.4\%$ ほどで、非相対論で扱ってよい速さである。

③ 出る光の波長。 励起された原子がもとにもどるとき、受け取った $4.9\mathrm{eV}$ を光として放出する。

$$\lambda =\frac{hc}{E}=\frac{6.6\times 10^{-34}\times 3.0\times 10^8}{7.8\times 10^{-19}}\approx 2.5\times 10^{-7}\mathrm{m}$$

$253\mathrm{nm}$ で、可視光($400$ 〜 $800\mathrm{nm}$)より短い紫外線である。実際この実験では、管から $254\mathrm{nm}$ の紫外線が出ることが確かめられている。

電流の落ちこみという電気的な測定と、放出される光の波長という光学的な測定が、同じ $4.9\mathrm{eV}$ を指し示す。これがこの実験の説得力である。

④ 何回まで渡せるか。 $15\mathrm{V}$ で加速された電子は $15\mathrm{eV}$ をもつ。$1$ 回のやりとりで $4.9\mathrm{eV}$ を失うから

$$\frac{15}{4.9}=3.06\cdots$$

$3$ 回渡すと $15-14.7=0.3\mathrm{eV}$ しか残らず、$4$ 回目は渡せない。よって最大 $3$ 回である。

まとめ とびとびの準位は、光のスペクトルだけでなく、電子をぶつけることでも測れる。$4.9\mathrm{V}$ ごとに電流が落ちるという簡単な観測が、量子論の直接の証拠になっている。

発展 — 一歩先へ。 この実験はフランクとヘルツによって $1914$ 年に行われ、ボーアの原子模型を裏づける決定的な証拠となった。

面白いのは、$4.9\mathrm{eV}$ より小さいエネルギーの電子は、水銀原子と何度ぶつかってもエネルギーを失わないことである(弾性衝突しか起きない)。相手が受け取れる値をもっていないと、渡すことすらできない。

「エネルギーは連続には渡せない」という量子の性質が、電流計の針の動きとして目に見える形になった実験である。

別解

エネルギーの単位を eV のまま通すルート。 ① 〜 ④ を J に直さずに進めると、計算がずっと軽くなる。

加速電圧 $V$ ボルトで加速された電子のエネルギーは、そのまま $V$ 電子ボルトである。だから「$4.9\mathrm{V}$ で落ちる」は「準位の間隔が $4.9\mathrm{eV}$」と読み替えるだけでよい。

③ の波長も、次の関係を覚えておくと暗算できる。

$$\lambda [\mathrm{nm}]\approx \frac{1240}{E[\mathrm{eV}]}$$

$$\lambda \approx \frac{1240}{4.9}\approx 253\mathrm{nm}$$

④ も $\frac{15}{4.9}$ の整数部分を見るだけである。

この $1240$ という数は $hc$ を $\mathrm{eV}\cdot \mathrm{nm}$ の単位で表したもので、原子分野ではくり返し使う。$\mathrm{eV}$ と $\mathrm{nm}$ という「原子のサイズに合った単位」で通すと、$10$ の何乗という指数を追いかけずに済む。