ボーアの量子条件

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ボーアの量子条件は「電子の物質波が円軌道上で定常波になる」という要請である——円周が波長の整数倍でないと、1 周して波が自分自身と打ち消し合ってしまう。

① 量子条件の式。 円周 $2\pi r$ が、ド・ブロイ波長 $\lambda =\frac{h}{mv}$ の整数倍:

$$2\pi r=n\lambda =n\frac{h}{mv}$$

整理して

$$mvr=\frac{nh}{2\pi }(n=1,2,3,\dots )$$

(左辺は角運動量——角運動量が $\frac{h}{2\pi }$ の整数倍に量子化される、と読める。)

② とびとびになる理由。 整数 $n$ の軌道だけが物質波の定常波として安定に存在できる。半端な軌道では波が消えてしまい、電子は存在できない。だから許される軌道はとびとびで、各軌道ごとに決まったエネルギー($E_n=-\frac{13.6}{n^2}\mathrm{eV}$)を持つ——エネルギー準位のとびとびが説明される。

まとめ 「円周 = 波長の整数倍」——弦の定常波(両端が節、$L=\frac{n\lambda }{2}$)や気柱の共鳴と同じ「整数倍の条件」が、原子の中で起きている。物質波(ド・ブロイ)を持ち込むことで、「なぜ電子は決まった軌道だけを回り、原子核に落ち込まないのか」というボーアの謎(古典物理では説明できなかった)が解けた。$n=1$ が最小の定常波(基底状態)——原子の安定性の量子力学的な根拠である。

別解

弦の定常波との対応で覚えるルート。 両端を固定した弦では、長さが半波長の整数倍($L=\frac{n\lambda }{2}$)のモードだけが定常波になる(波の単元)。円軌道は「端のない弦」なので、1 周してつながる条件は「円周 = 波長の整数倍」($2\pi r=n\lambda$)——端の条件がない分、$\frac{1}{2}$ でなく整数になる。

「弦=両端固定で半波長の整数倍、円=端なしで全波長の整数倍」——定常波の条件が、原子の軌道の量子化に直結している。波の知識が原子物理を照らす好例である。