物理 / 原子

光電効果のグラフからプランク定数

★★ 標準光電効果グラフ

問題

ある金属に振動数 $ν$ の光を当て、光電子の最大運動エネルギー $K_{ma x}$ を測ると、 $K_{ma x}$ - $ν$ グラフは直線になった。振動数 $6.0 \times 1 0^{14} Hz$ で $K_{ma x} = 1.3 \times 1 0^{- 19} J$ 、 $8.0 \times 1 0^{14} Hz$ で $K_{ma x} = 2.6 \times 1 0^{- 19} J$ であった。(1) この直線の傾きからプランク定数を求めよ。 (2) 仕事関数を求めよ。

Kmax-ν グラフは直線。傾きがプランク定数

ヒントを見る

光電効果の式 Kmax=hν−W は、ν を横軸・Kmax を縦軸にすると傾き h・切片 −W の直線。2 点から傾きを出せば、それがプランク定数そのもの。切片(横軸との交点は限界振動数)から仕事関数も出る。

解答・解説

方針

Kmax=hν−W は傾きh・切片−Wの直線。2点から傾き=プランク定数、切片から仕事関数。物理定数をグラフの傾きで測る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 光電効果の式 $K_{ma x} = h ν - W$ は 1 次関数—— $ν$ - $K_{ma x}$ グラフの傾きが $h$ 、切片が $- W$ 。実験グラフの傾きから、プランク定数という基本定数が測れる。

① プランク定数(傾き)。

$h = \frac{Δ K _{ma x}}{Δ ν} = \frac{( 2.6 - 1.3 ) \times 1 0 ^{- 19}}{( 8.0 - 6.0 ) \times 1 0 ^{14}} = \frac{1.3 \times 1 0 ^{- 19}}{2.0 \times 1 0 ^{14}} = 6.5 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$

② 仕事関数。 1 点を式に代入:

$W = h ν - K_{ma x} = 6.5 \times 1 0^{- 34} \times 6.0 \times 1 0^{14} - 1.3 \times 1 0^{- 19} = 3.9 \times 1 0^{- 19} - 1.3 \times 1 0^{- 19} = 2.6 \times 1 0^{- 19} J$

まとめ 「グラフの傾き=h(金属によらず一定)、切片=仕事関数(金属ごとに違う)」——ミリカンはこの実験でプランク定数を精密に測った。傾きがどの金属でも同じ( $h$ )であることが、 $E = h ν$ の普遍性の証拠である。物理実験の王道「グラフの傾き・切片から物理量を読む」(内部抵抗の $V$ - $I$ グラフ、単振り子の $T^{2}$ - $L$ と同型)が、量子物理の根幹の定数測定に使われている。

答

$K_{ma x} = h ν - W$ は直線。(1) 傾き $h = \frac{Δ K}{Δ ν} = \frac{( 2.6 - 1.3 ) \times 1 0 ^{- 19}}{( 8.0 - 6.0 ) \times 1 0 ^{14}} = 6.5 \times 1 0^{- 34} J \cdot s$ (2) $W = h ν - K_{ma x} = 6.5 \times 1 0^{- 34} \times 6.0 \times 1 0^{14} - 1.3 \times 1 0^{- 19} \approx 2.6 \times 1 0^{- 19} J$

別解

限界振動数から仕事関数を出すルート。 グラフの横軸切片(= $K_{ma x} = 0$ となる振動数)が限界振動数 $ν_{0} = \frac{W}{h}$ 。この実験の直線を延長して $ν_{0}$ を読み、 $W = h ν_{0}$ で仕事関数を出してもよい。傾きから $h$ 、横軸切片から $ν_{0}$ (→ $W$ )——グラフ 1 本から 2 つの量が読める。

「傾きと切片(縦・横)から複数の量を読む」——1 本の直線に含まれる情報を余さず使うのが、実験グラフ解析の要である。

ポイント

Kmax=hν−W は直線
傾き=h(金属によらず)、切片=−W
傾きからプランク定数を測る

よくある間違い

傾きの計算で ΔK と Δν を逆にする
切片をそのまま W とする(−W)
傾きが金属で変わると考える