半減期

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 半減期は「半分になる時間」——経過時間が半減期の何回分かを数え、その回数だけ $\frac{1}{2}$ を掛ける。

① 半減期の回数。

$$\frac{32日}{8日}=4回分$$

② 残る個数。 半分を 4 回:

$$1.6\times 10^{20}\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^4=1.6\times 10^{20}\times \frac{1}{16}=1.0\times 10^{19}個$$

まとめ 半減期ごとに $\frac{1}{2}\to \frac{1}{4}\to \frac{1}{8}\to \frac{1}{16}$——指数関数的に減る(一定量ずつでなく一定割合ずつ)。一般式は $N=N_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/T}$($T$: 半減期)。放射性崩壊は原子核が別の核に変わる現象で、半減期は核ごとに固有(炭素 14 は 5700 年、ウラン 238 は 45 億年)。この規則性を使うのが年代測定——遺跡の炭素 14 の残量から年代を、岩石のウランから地球の年齢を測る。「一定割合で減る」という指数減衰は、コンデンサーの放電(RC 回路)とも同じ数学である。

別解

表で追うルート。 8 日: $8.0\times 10^{19}$、16 日: $4.0\times 10^{19}$、24 日: $2.0\times 10^{19}$、32 日: $1.0\times 10^{19}$——半減期ごとに半分を書き下すと、指数の計算に頼らず確実。

中途半端な時間(例: 20 日=半減期 2.5 回分)なら ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{2.5}$ と分数のべきになるが、半減期の整数倍なら表で数えるのが最も間違いにくい。