水素スペクトル(バルマー系列)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 リュードベリの式は、水素の準位差から波長を直接与える公式——エネルギー準位 $E_n=-\frac{13.6}{n^2}$ を波長の言葉に翻訳したものである。式に $n=3$ を代入する。

① 1/λ を計算する。

$$\frac{1}{\lambda }=R\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=1.1\times 10^7\times \frac{9-4}{36}=1.1\times 10^7\times \frac{5}{36}\approx 1.53\times 10^6/m$$

② 波長。

$$\lambda =\frac{1}{1.53\times 10^6}\approx 6.6\times 10^{-7}\mathrm{m}=660\mathrm{nm}(赤色)$$

まとめ $n=2$ へ落ちる遷移をバルマー系列といい、すべて可視光になる(赤 $\to$ 紫)。$n=3\to 2$ が赤($H_{\alpha }$ 線, 656 nm)、$n=4\to 2$ が青緑……と、$n$ が大きくなるほど短波長側に線が並ぶ。水素ガスを放電させると、この決まった波長の光(輝線スペクトル)が見える——星の光を分光すれば、そこに水素があると分かる(天文学の元素分析)。「$n\to 1$=ライマン(紫外)、$n\to 2$=バルマー(可視)、$n\to 3$=パッシェン(赤外)」——落ちる先の準位で系列(波長域)が決まる。

別解

エネルギー準位から直接計算するルート。 $E_3-E_2=-\frac{13.6}{9}-\left(-\frac{13.6}{4}\right)=13.6\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=13.6\times \frac{5}{36}\approx 1.9\mathrm{eV}$。$\lambda =\frac{1240}{1.9}\approx 650\mathrm{nm}$——リュードベリの式と同じ答え。

リュードベリの式は $E_n=-\frac{13.6}{n^2}$ から導かれる($R=\frac{13.6\mathrm{eV}}{hc}$ に対応)——準位図と波長公式が同じ物理の 2 つの表現であることが確認できる。