太陽はあと何年輝けるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 太陽が燃えているのは化学反応ではない。石炭を燃やす程度のエネルギーでは、とても $46$ 億年も輝き続けられない。

核融合では、反応の前後で質量がわずかに減る。その減った分が $E=m{c}^2$ でエネルギーになる。まずは $1$ 回の反応で減る質量を数え、それを太陽全体の規模まで積み上げていく。

① $1$ 回の反応のエネルギー。 反応前は水素原子 $4$ 個、反応後はヘリウム原子 $1$ 個である。

$$\Delta m=4\times 1.0078-4.0026=4.0312-4.0026=0.0286\mathrm{u}$$

$$E_1=0.0286\times 931\approx 26.6\mathrm{MeV}$$

② $1$ 秒に失う質量。 出ていくエネルギーの分だけ、質量が減っている。

$$m=\frac{E}{c^2}=\frac{3.8\times 10^{26}}{(3.0\times 10^8{)}^2}=\frac{3.8\times 10^{26}}{9.0\times 10^{16}}\approx 4.2\times 10^9\mathrm{kg}$$

毎秒 $42$ 億 kg である。莫大に見えるが、太陽の質量 $2.0\times 10^{30}\mathrm{kg}$ に比べればごくわずかで、$1$ 年間でも $10^{17}\mathrm{kg}$ ほど、全体の $10^{-13}$ にすぎない。

③ 取り出せる総エネルギー。 使える水素の質量は $0.1\times 2.0\times 10^{30}=2.0\times 10^{29}\mathrm{kg}$ である。水素原子 $1$ 個の質量は $1.0078\times 1.66\times 10^{-27}\approx 1.67\times 10^{-27}\mathrm{kg}$ だから、個数は

$$N=\frac{2.0\times 10^{29}}{1.67\times 10^{-27}}\approx 1.2\times 10^{56}\text{個}$$

$4$ 個で $1$ 回の反応だから、反応の回数は $\frac{N}{4}\approx 3.0\times 10^{55}$ 回である。

$$E_{\text{全}}=3.0\times 10^{55}\times 26.6\mathrm{MeV}=3.0\times 10^{55}\times 26.6\times 10^6\times 1.6\times 10^{-19}\mathrm{J}\approx 1.3\times 10^{44}\mathrm{J}$$

④ 寿命。

$$t=\frac{E_{\text{全}}}{L}=\frac{1.3\times 10^{44}}{3.8\times 10^{26}}\approx 3.4\times 10^{17}\mathrm{s}$$

$$\frac{3.4\times 10^{17}}{3.15\times 10^7}\approx 1.1\times 10^{10}\text{年}$$

約 $110$ 億年である。太陽はすでに $46$ 億年ほど輝いているので、残りは $60$ 億年ほどという見積もりになる。

まとめ $1$ 回の反応の質量欠損($0.0286\mathrm{u}$、全体の $0.7\%$)という小さな数から出発して、太陽の寿命という桁違いに大きな量まで到達できる。核融合が化学反応と決定的に違うのは、この $0.7\%$ という効率の高さである。

発展 — 一歩先へ。 化学反応(たとえば燃焼)で取り出せるエネルギーは、原子 $1$ 個あたり数 eV である。核融合は $1$ 回あたり $26.6\mathrm{MeV}$ だから、$100$ 万倍以上の開きがある。

もし太陽が石炭でできていて燃えているとしたら、寿命は $1$ 万年ほどにしかならない。地質学が示す地球の年齢($46$ 億年)と合わないことは $19$ 世紀から問題になっており、核融合の発見でようやく解決した。

「エネルギー源が何か」という問いに、物理が桁で答えを出した例である。

別解

質量の減り方だけで寿命を出すルート。 反応の回数を数えなくても、寿命は出せる。

核融合では、反応にあずかる質量のうち $\frac{0.0286}{4.0312}\approx 0.71\%$ がエネルギーに変わる。つまり使える水素の質量を $M_{\mathrm{H}}$ とすると

$$E_{\text{全}}=0.0071M_{\mathrm{H}}{c}^2$$

$$=0.0071\times 2.0\times 10^{29}\times 9.0\times 10^{16}\approx 1.3\times 10^{44}\mathrm{J}$$

③ と同じ値になる。個数を数える手間が要らない。

さらに ② と組み合わせると、寿命はもっと直接に出せる。太陽は毎秒 $4.2\times 10^9\mathrm{kg}$ の質量をエネルギーに変えている。使える質量のうちエネルギーになるのは $0.0071\times 2.0\times 10^{29}=1.4\times 10^{27}\mathrm{kg}$ だから

$$t=\frac{1.4\times 10^{27}}{4.2\times 10^9}\approx 3.4\times 10^{17}\mathrm{s}$$

「エネルギーに変わる質量の総量 ÷ 毎秒変わる質量」という形で、$c^2$ すら使わずに寿命が出る。効率 $0.7\%$ という数を覚えておくと、核融合の見積もりはたいてい暗算でできる。