コンプトン散乱で電子は何を受け取るか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 コンプトン効果の式は与えられているので、計算そのものは難しくない。この問題の狙いは「光子と電子の衝突を、力学の衝突と同じように扱えるか」である。

エネルギーは、光子が失った分がそのまま電子の運動エネルギーになる。運動量はベクトルとして保存する。$90^{\circ }$ 散乱なら、$2$ つの光子の運動量は直交しているので、電子の運動量は直角三角形の斜辺として求まる。

最後の (4) は、量子論と力学のつなぎ目の話である。$24\mathrm{keV}$ の電子は、実はかなり速い。

① コンプトン波長。

$$\frac{h}{mc}=\frac{6.6\times 10^{-34}}{9.1\times 10^{-31}\times 3.0\times 10^8}\approx 2.4\times 10^{-12}\mathrm{m}$$

これは電子に固有の長さで、散乱角だけで波長の変化が決まることを意味している。入射波長には一切よらない。

② 波長とエネルギー。 $\theta =90^{\circ }$ なので $\cos \theta =0$、$\Delta \lambda =\frac{h}{mc}$ である。

$${\lambda }^{\prime }=1.0\times 10^{-11}+2.4\times 10^{-12}\approx 1.24\times 10^{-11}\mathrm{m}$$

エネルギーは $\frac{hc}{\lambda }$ で求める。

$$E=\frac{6.6\times 10^{-34}\times 3.0\times 10^8}{1.0\times 10^{-11}}=1.98\times 10^{-14}\mathrm{J}\approx 124\mathrm{keV}$$

$$E^{\prime }=\frac{1.98\times 10^{-25}}{1.24\times 10^{-11}}\approx 1.6\times 10^{-14}\mathrm{J}\approx 100\mathrm{keV}$$

電子が受け取ったのは差の

$$E-E^{\prime }\approx 24\mathrm{keV}$$

割合は $\frac{24}{124}\approx 19\%$ である。

③ 電子の運動量。 光子の運動量は $\frac{h}{\lambda }$ である。

$$p=\frac{6.6\times 10^{-34}}{1.0\times 10^{-11}}=6.6\times 10^{-23},p^{\prime }=\frac{6.6\times 10^{-34}}{1.24\times 10^{-11}}\approx 5.3\times 10^{-23}$$

入射方向を $x$、散乱方向を $y$ とすると、運動量保存は成分ごとに

$$x:p=p_{\mathrm{e}x},y:0=p^{\prime }+p_{\mathrm{e}y}$$

$$p_{\mathrm{e}x}=6.6\times 10^{-23},p_{\mathrm{e}y}=-5.3\times 10^{-23}$$

大きさと向きは

$$p_{\mathrm{e}}=\sqrt{(6.6{)}^2+(5.3{)}^2}\times 10^{-23}\approx 8.5\times 10^{-23}\mathrm{kg}\cdot m/s$$

$$\tan \alpha =\frac{5.3}{6.6}=0.80⟹\alpha \approx 39^{\circ }$$

入射方向から、散乱光子とは反対側へ $39^{\circ }$ 傾いた向きである。

④ ずれの理由。 ③ の運動量から非相対論の式で運動エネルギーを見積もると

$$\frac{p_{\mathrm{e}}^2}{2m}=\frac{(8.5\times 10^{-23}{)}^2}{2\times 9.1\times 10^{-31}}\approx 3.9\times 10^{-15}\mathrm{J}\approx 25\mathrm{keV}$$

② の $24\mathrm{keV}$ より少し大きい。

原因は電子の速さである。$24\mathrm{keV}$ を非相対論で速さに直すと

$$v=\sqrt{\frac{2K}{m}}\approx 9\times 10^{7}m/s$$

で、光速の $30\%$ ほどになる。ここまで速いと $\frac{p^2}{2m}$ という式自体が近似でしかなく、正しくは相対論の関係を使う必要がある。

コンプトン効果の式 $\Delta \lambda =\frac{h}{mc}(1-\cos \theta )$ は、はじめから相対論を使って導かれている。だから ② の値のほうが正しく、④ の見積もりのほうが誤差を含む。

まとめ 光子と電子の衝突は、エネルギーと運動量の保存で完全に扱える。ただし電子が受け取るエネルギーが大きいと、力学で習った $\frac{p^2}{2m}$ は使えなくなる。

発展 — 一歩先へ。 ① で見たように、波長の変化 $\Delta \lambda$ は入射波長によらない。だから可視光($\lambda \approx 5\times 10^{-7}\mathrm{m}$)では、変化の割合が $\frac{2.4\times 10^{-12}}{5\times 10^{-7}}\approx 5\times 10^{-6}$ にすぎず、まったく測れない。

X 線でようやく $20\%$ を超える変化になる。コンプトン効果が X 線で発見されたのは偶然ではなく、そこでしか見えないからである。

「効果が見える波長域はどこか」を式から読み取る習慣は、実験を設計するときの基本になる。

別解

ベクトル図で角度だけ先に出すルート。 数値を細かく計算する前に、図の上で答えの見当をつけられる。

運動量保存は「入射光子の運動量ベクトル = 散乱光子の運動量ベクトル + 電子の運動量ベクトル」である。つまり $3$ つのベクトルが三角形をつくる。

$90^{\circ }$ 散乱では、散乱光子のベクトルが入射方向と直交する。だから三角形は直角三角形になり、電子のベクトルはその斜辺である。

直角をはさむ $2$ 辺の長さの比は、波長の逆比 $\frac{1}{\lambda }:\frac{1}{{\lambda }^{\prime }}={\lambda }^{\prime }:\lambda =1.24:1.0$ である。

$$\tan \alpha =\frac{1.0}{1.24}=0.81⟹\alpha \approx 39^{\circ }$$

波長の比だけで角度が決まってしまう。$h$ も $c$ も要らない。

さらに、この三角形を見れば「散乱角が大きいほど電子は入射方向に近い向きへ飛ぶ」ことも読み取れる。数値を出す前に、図で答えの形をつかんでおくと検算にもなる。