限界振動数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 限界振動数は「ちょうど電子が飛び出せる境目」——運動エネルギー $K_{max}=0$ になる振動数である。光電効果の式に $K_{max}=0$ を代入する。

① 式を立てる。 $K_{max}=h{\nu }_0-W=0$ より

$${\nu }_0=\frac{W}{h}$$

② 代入する。 $W=2.0\mathrm{eV}=2.0\times 1.6\times 10^{-19}\mathrm{J}$:

$${\nu }_0=\frac{2.0\times 1.6\times 10^{-19}}{6.6\times 10^{-34}}=\frac{3.2\times 10^{-19}}{6.6\times 10^{-34}}\approx 4.8\times 10^{14}\mathrm{Hz}$$

まとめ これより低い振動数の光は、どんなに強くても電子を飛ばせない($h\nu <W$)——光電効果が「振動数のしきい値」を持つことの数値化である。金属ごとに $W$(=${\nu }_0$)が決まっており、セシウムなど $W$ が小さい金属は可視光でも光電効果を起こす(光電管・太陽電池に使われる)。${\nu }_0=\frac{W}{h}$ は「金属の個性($W$)を振動数に翻訳した値」——限界波長 ${\lambda }_0=\frac{c}{{\nu }_0}=\frac{hc}{W}$ で波長のしきい値としても表せる。

別解

限界波長で考えるルート。 ${\lambda }_0=\frac{hc}{W}=\frac{6.6\times 10^{-34}\times 3.0\times 10^8}{3.2\times 10^{-19}}\approx 6.2\times 10^{-7}\mathrm{m}$——約 620 nm(オレンジ色)。これより長波長(赤・赤外)の光では電子は飛ばず、短波長(青・紫外)なら飛ぶ。

「限界振動数」を「限界波長」で言い換えると、色との対応が直感的になる——$W$ が大きい金属ほど限界波長が短く(紫外が必要)、小さい金属ほど長い(可視光でも可)。