質量欠損と核結合エネルギー

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 原子核は「ばらばらの核子より軽い」。この質量欠損 $\Delta m$ が $E=\Delta m{c}^2$ で結合エネルギーになっている。核子を結びつけているエネルギーの分だけ、質量が減っている。

① 質量欠損を kg に。

$$\Delta m=0.03\times 1.66\times 10^{-27}=4.98\times 10^{-29}\mathrm{kg}$$

② 結合エネルギー。

$$E=\Delta m{c}^2=4.98\times 10^{-29}\times (3.0\times 10^8{)}^2=4.98\times 10^{-29}\times 9.0\times 10^{16}\approx 4.5\times 10^{-12}\mathrm{J}$$

③ MeV に換算。

$$E=\frac{4.5\times 10^{-12}}{1.6\times 10^{-13}}\approx 28\mathrm{MeV}$$

まとめ $28\mathrm{MeV}$ は化学結合(数 eV)の百万倍のエネルギーである。だから核反応(核分裂・核融合)は化学反応(燃焼)より桁違いに大きなエネルギーを出す。「質量欠損 → 結合エネルギー」は、原子核が安定に存在する理由でもある(ばらばらより低エネルギー=安定)。逆にこの核を陽子・中性子にばらすには $28\mathrm{MeV}$ が要る。太陽は水素が融合してヘリウムになるときの質量欠損($E=\Delta m{c}^2$)で輝いている。$E=m{c}^2$(基礎)は、原子核の反応で実際に使われている。

別解

1 u あたりのエネルギーで速算するルート。 $1\mathrm{u}$ の質量が全部エネルギーになると $c^2\times 1.66\times 10^{-27}\approx 1.5\times 10^{-10}\mathrm{J}\approx 931\mathrm{MeV}$ になる。これが「$1\mathrm{u}=931\mathrm{MeV}$」というよく使う換算である。$\Delta m=0.03\mathrm{u}$ なら $0.03\times 931\approx 28\mathrm{MeV}$ と暗算できる。

「$1\mathrm{u}\leftrightarrow 931\mathrm{MeV}$」は核物理で必ず使う換算である。質量欠損(u)から結合エネルギー(MeV)が掛け算 1 回で出る。この換算を持っておくと核反応の Q 値計算が速い。