加速された電子のド・ブロイ波長

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「加速(電場)→ 運動量 → ド・ブロイ波長」の流れである。エネルギー保存で運動量を出し、$\lambda =\frac{h}{p}$ に入れる。

① 運動量。 加速のエネルギー保存 $eV=\frac{p^2}{2m}$ より

$$p=\sqrt{2meV}$$

② ド・ブロイ波長。

$$\lambda =\frac{h}{p}=\frac{h}{\sqrt{2meV}}=\frac{6.6\times 10^{-34}}{\sqrt{2\times 9.1\times 10^{-31}\times 1.6\times 10^{-19}\times 100}}$$

分母 $=\sqrt{2.9\times 10^{-47}}=5.4\times 10^{-24}$ だから

$$\lambda =\frac{6.6\times 10^{-34}}{5.4\times 10^{-24}}\approx 1.2\times 10^{-10}\mathrm{m}$$

まとめ $\lambda =\frac{h}{\sqrt{2meV}}$——加速電圧が高いほど波長が短い($\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$)。$100\mathrm{V}$ で $\sim 10^{-10}\mathrm{m}$(原子サイズ)——これが電子顕微鏡の原理である。可視光($\sim 10^{-7}\mathrm{m}$)では原子は見えないが、電子の物質波なら 1000 倍細かく見える。電圧を上げるほど波長が短くなり分解能が上がる(数万 V で原子が見える)。「粒子(電子)を波として使って、光より細かいものを見る」——ド・ブロイ波の実用の頂点である。質量分析器($r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mV}{q}}$)と同じ「加速+運動量」の構造が、ここでも生きている。

別解

波長の公式を暗記して速算するルート。 電子を $V$ ボルトで加速したときのド・ブロイ波長は $\lambda \approx \frac{1.2}{\sqrt{V}}\mathrm{nm}$(近似式)。$V=100$ なら $\lambda \approx \frac{1.2}{10}=0.12\mathrm{nm}=1.2\times 10^{-10}\mathrm{m}$——一致。

この「$\frac{1.2}{\sqrt{V}}\mathrm{nm}$」は電子回折・電子顕微鏡の見積もりの定番——加速電圧から波長が即座に出る。$150\mathrm{V}$ なら約 $0.1\mathrm{nm}$(応用 a04)と覚えておくと便利である。