光は面を押す — 輻射圧とソーラーセイル

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 光が物を押すと聞くと不思議に思える。しかし光子が運動量をもつなら、当たった面が力を受けるのは当然である。

力の定義に戻ると、力は「単位時間あたりの運動量の変化」である。だから求めるべきは、$1$ 秒間に面がどれだけの運動量を受け取るかである。

そして計算してみると、光子 $1$ 個あたりの量も個数も、最後は消えてしまう。残るのは $\frac{I}{c}$ という簡単な式だけである。

① 光子 $1$ 個の量。

$$E=\frac{6.6\times 10^{-34}\times 3.0\times 10^8}{5.0\times 10^{-7}}=4.0\times 10^{-19}\mathrm{J}$$

$$\frac{4.0\times 10^{-19}}{1.6\times 10^{-19}}=2.5\mathrm{eV}$$

$$p=\frac{E}{c}=\frac{4.0\times 10^{-19}}{3.0\times 10^8}=1.3\times 10^{-27}\mathrm{kg}\cdot m/s$$

② 毎秒の個数。 エネルギーの合計を $1$ 個あたりのエネルギーで割る。

$$n=\frac{I}{E}=\frac{1.4\times 10^3}{4.0\times 10^{-19}}\approx 3.5\times 10^{21}\text{個}$$

③ 圧力。 完全に吸収する面では、光子はもっていた運動量をすべて置いていく。$1$ 秒間に受け取る運動量は

$$np=\frac{I}{E}\cdot \frac{E}{c}=\frac{I}{c}$$

ここで $E$ が約分で消える。個数も波長も残らない。

$$P=\frac{I}{c}=\frac{1.4\times 10^3}{3.0\times 10^8}\approx 4.7\times 10^{-6}\mathrm{Pa}$$

完全に反射する面では、光子の運動量は $+p$ から $-p$ に変わるので、面が受け取る運動量は $2p$ になる。

$$P=\frac{2I}{c}\approx 9.3\times 10^{-6}\mathrm{Pa}$$

④ 帆の運動。 力は圧力に面積を掛ける。

$$F=\frac{2I}{c}\times 1.0\times 10^3=9.3\times 10^{-6}\times 1.0\times 10^3\approx 9.3\times 10^{-3}\mathrm{N}$$

$$a=\frac{F}{m}=\frac{9.3\times 10^{-3}}{10}\approx 9.3\times 10^{-4}m/{\mathrm{s}}^2$$

$$v=at=9.3\times 10^{-4}\times 8.6\times 10^4\approx 80m/s$$

$1$ 日で秒速 $80\mathrm{m}$ である。小さな加速度でも、燃料なしで加速し続けられるのが強みである。

まとめ 光の圧力は $\frac{I}{c}$(反射なら $2$ 倍)。$c$ が大きいので圧力は極めて小さいが、宇宙空間で長時間はたらけば無視できない速さになる。

発展 — 一歩先へ。 彗星の尾が太陽と反対の向きにたなびくのは、この光の圧力(と太陽風)によるものである。彗星の進む向きではなく、いつも太陽と逆を向く。

また、恒星の内部では、外向きの輻射圧が重力と釣り合って星の形を保っている。光の圧力は、宇宙のスケールでは主役級のはたらきをする。

別解

波動の立場から見るルート。 光子を持ち出さなくても、電磁波としての性質から同じ式が出る。

電磁波はエネルギー $U$ を運ぶとき、同時に運動量 $\frac{U}{c}$ を運ぶことが電磁気学から導かれる。これを認めれば、$1$ 秒間に面が受け取る運動量は

$$\frac{I}{c}$$

となり、③ と同じ結論に達する。

つまり輻射圧そのものは、光を粒子と考えなくても説明できる。実際、マクスウェルは光子が知られる前に理論的に予言し、レベデフが実験で確かめている。

では光子説の出番はどこかというと、光電効果である。輻射圧は「$1$ 秒あたりの平均」で決まる量なので、波でも粒子でも同じ答えになる。$1$ 個ずつのふるまい(振動数で決まる最大運動エネルギー)を問われて初めて、波動論では説明がつかなくなる。

「どの実験がどちらの描像でしか説明できないか」を区別しておくと、量子論の必要性がはっきり見えてくる。