イオン化エネルギー

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 イオン化は「電子を $n=1$ から $n=\infty$(自由、$E=0$)まで引き離す」——必要なエネルギーは基底状態の深さそのものである。

① イオン化エネルギー。

$$E_{\infty }-E_1=0-(-13.6)=13.6\mathrm{eV}$$

② 遷移との比較。 $n=2\to 1$ の遷移は準位差 $10.2\mathrm{eV}$(基礎)。イオン化は $13.6\mathrm{eV}$——イオン化の方が大きい。$n=1$ から $n=2$(まだ束縛)へ上げるより、$n=\infty$(完全に自由)まで引き離す方が大きなエネルギーが要る、と準位図で見れば当然。

まとめ $13.6\mathrm{eV}$ は水素のイオン化エネルギーで、基底状態の深さと同じ値。準位図で見ると、$E_1=-13.6$ から $E=0$(自由)までの「井戸の深さ」がそのままイオン化エネルギーになる。$n=1\to 2$($10.2$)、$n=1\to 3$($12.1$)、……$n=1\to \infty$($13.6$)と、上の準位ほど間隔が詰まり、$13.6\mathrm{eV}$ に収束する——遷移エネルギーの上限がイオン化エネルギーである。$13.6\mathrm{eV}$ の光(紫外)を当てれば水素はイオン化する。

別解

準位の集積から見るルート。 $n=1$ からの遷移エネルギーは $10.2,12.1,12.75,\dots \mathrm{eV}$ と増え、$13.6\mathrm{eV}$ に限りなく近づく(収束する)。イオン化エネルギーは、この遷移エネルギー列の「行き着く先(上限)」である。

「束縛状態間の遷移(有限)→ 自由への遷移=イオン化(上限)」——準位が $E=0$ に集積することが、遷移エネルギーの収束とイオン化エネルギーの一致を生む。基礎の準位図の「上ほど密」がここで効く。