電磁誘導と交流 — ファラデーの法則・交流回路・電気振動

$100$ 回巻いたコイルを貫く磁束が、$0.10$ 秒間に $0.02\mathrm{Wb}$ だけ変化した。このコイルに生じる誘導起電力の大きさを求めよ。

磁束密度 $0.50\mathrm{T}$ の一様な磁場に垂直に置いた 1 巻きのコイルの面積を、$0.20$ 秒間に $0.04{\mathrm{m}}^2$ だけ縮めた。生じる誘導起電力の大きさを求めよ。

円形コイルに、棒磁石の N 極を近づけた。(1) コイルに流れる誘導電流は、磁石から見てコイルのどちら側を N 極にする向きか。 (2) このとき磁石とコイルの間には引力・斥力のどちらがはたらくか。理由とともに答えよ。

磁束密度 $0.50\mathrm{T}$ の一様な磁場に垂直に、長さ $0.20\mathrm{m}$ の導体棒を磁場と垂直に速さ $2.0m/s$ で動かした。棒に生じる誘導起電力の大きさを求めよ。

前問の導体棒(起電力 $0.20\mathrm{V}$)を、抵抗 $0.10\Omega$ の回路につないだ。回路に流れる電流の大きさを求めよ。棒とレールの抵抗は無視する。

前問で、誘導電流 $2.0\mathrm{A}$ が流れている導体棒(長さ $0.20\mathrm{m}$、磁束密度 $0.50\mathrm{T}$)が磁場から受ける力の大きさと向きを求めよ。

自己インダクタンス $0.20\mathrm{H}$ のコイルに流れる電流を、$1$ 秒あたり $5.0\mathrm{A}$ の割合で増加させた。コイルに生じる自己誘導起電力の大きさを求めよ。

自己インダクタンス $0.20\mathrm{H}$ のコイルに $3.0\mathrm{A}$ の電流が流れている。このコイルに蓄えられている磁気エネルギーを求めよ。

家庭用の交流電圧の実効値は $100\mathrm{V}$ である。(1) この交流電圧の最大値(振幅)を求めよ。 (2) 実効値とは何を表す量か、直流と比べて述べよ。$\sqrt{2}=1.41$ とする。

1 次コイルの巻数 $100$、2 次コイルの巻数 $20$ の変圧器の 1 次側に交流 $100\mathrm{V}$ を加えた。2 次側に生じる電圧を求めよ。

前問の変圧器(1 次 $100\mathrm{V}$、2 次 $20\mathrm{V}$)で、1 次側に $2.0\mathrm{A}$ の電流が流れている。エネルギー損失がないとして、2 次側に流れる電流を求めよ。

周波数 $50\mathrm{Hz}$ の交流について、(1) 周期 (2) 角周波数 を求めよ。$\pi =3.14$ とする。

1 巻きのコイルを貫く磁束 $\Phi$ が図のように時間変化する($0\sim 0.10$ 秒で $0$ から $0.02\mathrm{Wb}$ に一定の割合で増え、$0.10\sim 0.20$ 秒は $0.02\mathrm{Wb}$ で一定)。(1) $0\sim 0.10$ 秒、(2) $0.10\sim 0.20$ 秒 のそれぞれで生じる誘導起電力の大きさを求めよ。

間隔 $0.20\mathrm{m}$ の水平なコの字レールに抵抗 $0.20\Omega$ をつなぎ、磁束密度 $0.50\mathrm{T}$ の鉛直磁場中で導体棒を速さ $4.0m/s$ で等速で動かす(レール・棒の抵抗は無視)。(1) 誘導起電力 (2) 回路の電流 (3) 棒を等速で動かすのに必要な外力 (4) 外力がする仕事率(仕事の割合)と抵抗の消費電力が等しいことを示せ。

傾き $30°$ のなめらかな斜面にコの字レール(間隔 $0.20\mathrm{m}$、抵抗 $0.10\Omega$)を敷き、鉛直磁場ではなく斜面に垂直な磁場(磁束密度 $0.50\mathrm{T}$)をかける。質量 $0.10\mathrm{kg}$ の導体棒を斜面に沿って滑らせると、やがて一定の速さ(終端速度)になった。この終端速度を求めよ。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

2 つのコイルが近くに置かれている。1 次コイルの電流を $1$ 秒あたり $10\mathrm{A}$ の割合で変化させると、2 次コイルに $0.50\mathrm{V}$ の起電力が生じた。(1) この 2 コイル間の相互インダクタンス $M$ を求めよ。 (2) 相互誘導と自己誘導の違いを述べよ。

起電力 $12\mathrm{V}$ の電池、抵抗 $4.0\Omega$、自己インダクタンス $0.10\mathrm{H}$ のコイル、スイッチを直列につないだ。(1) スイッチを入れた直後の電流 (2) 十分に時間がたった後の電流 (3) そのときコイルに蓄えられているエネルギー を求めよ。

自己インダクタンス $0.10\mathrm{H}$ のコイルに、角周波数 $100\pi rad/s$ の交流を加えた。(1) コイルの誘導リアクタンス $X_L$ を求めよ。 (2) 加えた交流電圧の実効値が $100\mathrm{V}$ のとき、流れる電流の実効値を求めよ。$\pi =3.14$ とする。

電気容量 $1.0\times 10^{-4}\mathrm{F}$ のコンデンサーに、角周波数 $100\pi rad/s$ の交流を加えた。(1) 容量リアクタンス $X_C$ を求めよ。 (2) このコンデンサーが高い周波数と低い周波数のどちらの交流をよく通すかを述べよ。$\pi =3.14$ とする。

抵抗 $30\Omega$ と、誘導リアクタンス $40\Omega$ のコイルを直列につなぎ、実効値 $100\mathrm{V}$ の交流を加えた。(1) 回路のインピーダンス(交流全体の抵抗)を求めよ。 (2) 流れる電流の実効値を求めよ。

発電所で $6600\mathrm{W}$ の電力を送るのに、(A) $100\mathrm{V}$ で送る場合と、(B) $6600\mathrm{V}$ で送る場合を比べる。送電線の抵抗を $1.0\Omega$ とする。(1) それぞれの送電線を流れる電流 (2) それぞれの送電線での電力損失($I^{2}r$)を求め、高電圧送電が有利な理由を述べよ。

実効値 $100\mathrm{V}$ の交流電源に負荷をつなぎ、実効値 $2.0\mathrm{A}$ の電流が流れた。電圧と電流の位相差の余弦(力率)が $0.60$ のとき、負荷で消費される平均電力を求めよ。また、抵抗だけの負荷(力率 1)なら消費電力はいくらになるか。

自己インダクタンス $0.20\mathrm{H}$ のコイルに流れる電流を、$1.0\mathrm{A}$ から $4.0\mathrm{A}$ に増加させた。(1) コイルに蓄えられる磁気エネルギーの変化を求めよ。 (2) このエネルギーはどこから来たか説明せよ。

$30\Omega$ の抵抗に、実効値 $2.0\mathrm{A}$ の交流電流を $10$ 秒間流した。この抵抗で発生するジュール熱を求めよ。また、なぜ最大値でなく実効値を使うのかを述べよ。

傾き $30°$ の斜面レール(間隔 $L$、抵抗 $R$)上を、質量 $m=0.10\mathrm{kg}$ の導体棒が斜面に垂直な磁場中を滑り、終端速度に達して等速で $h=0.50\mathrm{m}$(鉛直方向)滑り降りた。(1) この間に重力がした仕事 (2) 抵抗で発生したジュール熱 を求め、両者が等しいことを説明せよ。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

自己インダクタンス $0.10\mathrm{H}$ のコイルと電気容量 $1.0\times 10^{-5}\mathrm{F}$ のコンデンサーをつないだ $LC$ 回路がある。(1) この回路の電気振動の角周波数 ${\omega }_0$ を求めよ。 (2) 電気振動を、ばね振り子(単振動)と対応づけて説明せよ。$\pi =3.14$ とする。

抵抗 $30\Omega$、誘導リアクタンス $80\Omega$ のコイル、容量リアクタンス $40\Omega$ のコンデンサーを直列につなぎ、実効値 $100\mathrm{V}$ の交流を加えた。(1) 回路のインピーダンスを求めよ。 (2) 流れる電流の実効値を求めよ。 (3) 共振(電流が最大)にするには、リアクタンスをどうすればよいか。

相互インダクタンス $M=0.05\mathrm{H}$ で結合した 2 つのコイルがある。1 次コイルに、$0\sim 0.20$ 秒で $0$ から $4.0\mathrm{A}$ まで一定の割合で電流を増やした。(1) この間に 2 次コイルに生じる起電力を求めよ。 (2) 1 次コイルの電流の変化を 2 倍速くすると、2 次側の起電力はどうなるか。

面積 $S=0.02{\mathrm{m}}^2$、巻数 $N=100$ のコイルを、磁束密度 $B=0.50\mathrm{T}$ の一様な磁場の中で、磁場に垂直な軸のまわりに角速度 $\omega =100rad/s$ で回転させる。(1) コイルを貫く磁束を時刻 $t$ の式で表せ。 (2) 生じる誘導起電力の最大値を求めよ。

発電所で $1.0\times 10^4\mathrm{W}$ の電力を、抵抗 $1.0\Omega$ の送電線で送る。(1) 送電電圧を $100\mathrm{V}$ にした場合と $1.0\times 10^4\mathrm{V}$ にした場合の、送電線での電力損失をそれぞれ求めよ。 (2) 損失の比を求め、なぜ高電圧送電が必要かを電流の観点から説明せよ。

起電力 $12\mathrm{V}$ の電池、抵抗 $4.0\Omega$、自己インダクタンス $0.10\mathrm{H}$ のコイルを直列につなぎ、$t=0$ でスイッチを入れた。(1) 直後の電流 $I_0$ と十分時間後の電流 $I_{\infty }$ (2) 十分後にコイルに蓄えられるエネルギー (3) 電流 $I$ の時間変化のグラフの概形を描き、増え方の特徴を述べよ。

抵抗 $30\Omega$ と誘導リアクタンス $40\Omega$ のコイルを直列にした負荷に、実効値 $100\mathrm{V}$ の交流を加えた。(1) 流れる電流の実効値 (2) 力率 $\cos \varphi$ (3) この負荷で消費される平均電力 を 2 通りの方法($V_e{I}_e\cos \varphi$ と $I_e^{2}R$)で求め、一致を確かめよ。

一辺 $a=0.20\mathrm{m}$ の正方形のコイル(質量 $m=0.010\mathrm{kg}$、抵抗 $R=0.10\mathrm{\Omega }$)を、鉛直面内に置いて静かに落とす。下方には磁束密度 $B=0.50\mathrm{T}$ の一様な磁場の領域(紙面に垂直)があり、その上端の境界は水平である。磁場の領域は十分に広い。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) コイルの下辺が磁場に入り、上辺がまだ外にあるとき、コイルに生じる起電力と電流を、速さ $v$ を用いて表せ。

(2) この状態でコイルにはたらく力を求め、運動方程式を書け。

(3) 十分に時間が経ったときの速さ(終端速度)を求めよ。

(4) コイル全体が磁場の中に入りきったあと、コイルの運動はどうなるか。理由とともに答えよ。

$R=10\mathrm{\Omega }$ の抵抗、$L=0.10\mathrm{H}$ のコイル、$C=10\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーを直列につなぎ、実効値 $20\mathrm{V}$ の交流電源につないだ。角振動数 $\omega$ は自由に変えられるものとする。

(1) 共振する角振動数 ${\omega }_0$ を求めよ。

(2) 共振しているときの回路のインピーダンスと、流れる電流(実効値)を求めよ。

(3) 共振しているときの、コイルの両端の電圧とコンデンサーの両端の電圧をそれぞれ求めよ。

(4) (3) の答えは電源電圧 $20\mathrm{V}$ より大きい。キルヒホッフの法則に反していないか。理由を述べよ。

自己インダクタンス $L=0.20\mathrm{H}$ の閉じたループがある。ループの電気抵抗は $0$ とみなせる(超伝導体でできているとする)。はじめ、このループには $I_0=5.0\mathrm{A}$ の電流が流れている。

(1) はじめにループを貫いている磁束を求めよ。

(2) 抵抗が $0$ であることから、ループを貫く全磁束は変化しないことを示せ。

(3) 外から磁石を近づけ、ループを貫く外部からの磁束を(はじめの電流がつくる磁束と同じ向きに)$0.50\mathrm{Wb}$ 増やした。ループに流れる電流はいくらになるか。

(4) このとき、ループの磁気エネルギーはどう変化したか。エネルギーは保存しているか。

起電力 $E=100\mathrm{V}$ の電源に、内部抵抗を含めた合計 $r=2.0\mathrm{\Omega }$ の抵抗と直流モーターを直列につないだ。モーターが回転すると、その回転によって逆向きの起電力 $E^{\prime }$(逆起電力)が生じる。モーターのコイルの抵抗は $r$ に含めてある。

(1) 回転を手で止めているとき($E^{\prime }=0$)、流れる電流と消費される電力を求めよ。

(2) $E^{\prime }=80\mathrm{V}$ で回転しているときの電流、電源が供給する電力、抵抗で発生する熱、機械的な仕事率をそれぞれ求めよ。

(3) 機械的な仕事率が最大になるときの $E^{\prime }$ と、そのときの仕事率を求めよ。

(4) (2) と (3) で効率(機械的な仕事率÷電源の供給電力)を比べ、何がいえるか述べよ。

一様な磁束密度 $B=0.50\mathrm{T}$ の磁場の中に、長さ $l=0.20\mathrm{m}$ の導体棒を磁場に垂直な面内に置き、一端 O を中心として角速度 $\omega =20rad/s$ で回転させる。

(1) 中心から距離 $r$ の点の速さを求めよ。

(2) 棒の微小部分 $\Delta r$ に生じる起電力を書き、棒全体の起電力が $\frac{1}{2}B\omega l^2$ となることを示せ。値も求めよ。

(3) 「棒の先端の速さ $v=\omega l$ を使って $V=Bvl$ とすればよい」という考えは誤りである。どこが違うか説明せよ。

(4) 棒の長さを $2$ 倍にすると起電力は何倍になるか。

巻数比 $N_1:N_2=10:1$ の理想的な変圧器がある。$2$ 次側に $R=8.0\mathrm{\Omega }$ の抵抗(スピーカーだと思ってよい)をつなぎ、$1$ 次側に実効値 $100\mathrm{V}$ の交流電源をつないだ。変圧器での損失はないものとする。

(1) $2$ 次側の電圧と電流を求めよ。

(2) $1$ 次側に流れる電流を求めよ。

(3) $1$ 次側から見ると、この変圧器と抵抗の組はいくらの抵抗に見えるか。巻数比 $n$ と $R$ で一般式も示せ。

(4) 内部抵抗 $800\mathrm{\Omega }$ の交流電源から $8.0\mathrm{\Omega }$ の抵抗へ最大の電力を送りたい。直結した場合とこの変圧器を入れた場合で、抵抗が受け取る電力を比べよ。

水平でなめらかな $2$ 本の平行レールの上に、質量 $m=0.50\mathrm{kg}$ の導体棒 P と Q を、どちらもレールに垂直に置く。レールの間隔は $l=0.20\mathrm{m}$、鉛直上向きに磁束密度 $B=0.50\mathrm{T}$ の一様な磁場をかける。回路全体の抵抗は $R=0.20\mathrm{\Omega }$ で一定とし、レールの摩擦と棒の抵抗の変化は無視する。

はじめ Q は静止しており、P に初速 $v_0=4.0m/s$ を与えた。

(1) P の速さが $v_1$、Q の速さが $v_2$ のとき、回路に流れる電流を求めよ。

(2) P と Q が受ける力の向きと大きさを比べ、$2$ 本の運動量の和が変化しないことを示せ。

(3) 十分に時間が経ったときの $2$ 本の速さを求めよ。

(4) この間に抵抗で発生した熱の総量を求めよ。はじめの運動エネルギーの何割か。

自己インダクタンス $L=0.10\mathrm{H}$ のコイルに $I=2.0\mathrm{A}$ の電流を流しておき、スイッチを開いて電流を切る。

(1) 電流が $1.0\mathrm{ms}$ かけて $0$ になったとすると、コイルに生じる起電力はいくらか。$1.0\mu \mathrm{s}$ で切れた場合はどうか。

(2) コイルに蓄えられていた磁気エネルギーを求めよ。

(3) スイッチと並列に容量 $C=0.10\mu \mathrm{F}$ のコンデンサーをつなぐと、電流はこのコンデンサーに流れこみ、電圧は無限には上がらない。コンデンサーの電圧の最大値を求めよ。

(4) (3) の答えを $L,C,I$ で表し、$C$ を大きくすると電圧がどうなるか述べよ。