RL 直列回路のインピーダンス

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 交流の合成の急所は「抵抗とリアクタンスは位相が 90° ずれる」——だから直流のように単純に足せず、直角三角形の斜辺(2 乗和の平方根)で合成する。

① インピーダンス。

$$Z=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50\Omega$$

(3:4:5 の直角三角形。)

② 電流。 オームの法則の形で

$$I_e=\frac{V_e}{Z}=\frac{100}{50}=2.0\mathrm{A}$$

まとめ 「$Z=\sqrt{R^2+X^2}$」の平方根の由来は位相のずれである——抵抗の電圧(電流と同位相)とコイルの電圧(電流より 90° 進む)がベクトル(回転する矢)として直角に足される。この直角三角形の角度が位相差($\tan \varphi =\frac{X_L}{R}$)、斜辺がインピーダンス。交流は「大きさ+位相」の 2 つを持つので、ベクトル(または複素数)で扱う——だから 2 乗和の平方根になる。$3:4:5$ など有名な直角三角形が使えるよう数値が設計されることが多い。

別解

電圧の内訳で確かめるルート。 電流 $2.0\mathrm{A}$ が流れると、抵抗の電圧は $RI=60\mathrm{V}$、コイルの電圧は $X_{L}I=80\mathrm{V}$。これを単純に足すと $140\mathrm{V}$ で電源の $100\mathrm{V}$ を超えてしまう——おかしい。位相 90° ずれを考え、直角三角形で合成すると $\sqrt{60^2+80^2}=100\mathrm{V}$ ✓。

「電圧の単純和が電源を超える」矛盾が、位相のずれ(直角合成)の必要性を教えてくれる——交流で足し算が使えない理由の実感である。