RL 直列回路のインピーダンス

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 交流の合成では、「抵抗とリアクタンスは位相が 90° ずれる」ことに注意する。だから直流のように単純に足せず、直角三角形の斜辺(2 乗和の平方根)で合成する。

① インピーダンス。

$$Z=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50\Omega$$

(3:4:5 の直角三角形。)

② 電流。 オームの法則の形で

$$I_e=\frac{V_e}{Z}=\frac{100}{50}=2.0\mathrm{A}$$

まとめ 「$Z=\sqrt{R^2+X^2}$」の平方根の由来は位相のずれである。抵抗の電圧(電流と同位相)とコイルの電圧(電流より 90° 進む)が、ベクトル(回転する矢)として直角に足される。この直角三角形の角度が位相差($\tan \varphi =\frac{X_L}{R}$)、斜辺がインピーダンス。交流は「大きさ+位相」の 2 つを持つので、ベクトル(または複素数)で扱う。だから 2 乗和の平方根になる。$3:4:5$ など有名な直角三角形が使えるよう数値が設計されることが多い。

別解

電圧の内訳で確かめるルート。 電流 $2.0\mathrm{A}$ が流れると、抵抗の電圧は $RI=60\mathrm{V}$、コイルの電圧は $X_{L}I=80\mathrm{V}$。これを単純に足すと $140\mathrm{V}$ となり、電源の $100\mathrm{V}$ を超えてしまう。これはおかしい。位相 90° ずれを考え、直角三角形で合成すると $\sqrt{60^2+80^2}=100\mathrm{V}$。

「電圧の単純和が電源を超える」という矛盾から、位相のずれ(直角合成)を考える必要があると分かる。交流で単純な足し算が使えない理由が、数値で確かめられる。