共振したコイルの電圧が電源を超える

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 共振の条件は $X_L=X_C$ である。このとき $2$ つのリアクタンスは打ち消し合い、回路には抵抗しか残らない。

だから電流が最大になる。ここまでは知っている話である。

問題はその先で、電流が大きいと $X_{L}I$ も大きくなる。$X_L=100\mathrm{\Omega }$ もあるので、コイルの電圧は電源より大きくなってしまう。これが「電圧拡大」で、共振回路のいちばん面白いところである。

① 共振角振動数。

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{0.10\times 10\times 10^{-6}}}=\frac{1}{\sqrt{1.0\times 10^{-6}}}=1.0\times 10^{3}rad/s$$

② インピーダンスと電流。 リアクタンスを計算する。

$$X_L={\omega }_{0}L=1000\times 0.10=100\mathrm{\Omega }$$

$$X_C=\frac{1}{{\omega }_{0}C}=\frac{1}{1000\times 10\times 10^{-6}}=100\mathrm{\Omega }$$

たしかに等しい。インピーダンスは

$$Z=\sqrt{R^2+{\left(X_L-X_C\right)}^2}=\sqrt{10^2+0}=10\mathrm{\Omega }$$

$$I=\frac{20}{10}=2.0\mathrm{A}$$

③ コイルとコンデンサーの電圧。

$$V_L=X_{L}I=100\times 2.0=2.0\times 10^2\mathrm{V}$$

$$V_C=X_{C}I=100\times 2.0=2.0\times 10^2\mathrm{V}$$

どちらも電源電圧の $10$ 倍である。

④ 矛盾しない理由。 交流では、電圧の大きさをそのまま足してはいけない。位相を考える必要がある。

コイルの電圧は電流より位相が $90^{\circ }$ 進み、コンデンサーの電圧は $90^{\circ }$ 遅れる。したがって $2$ つは $180^{\circ }$ ずれていて、たがいに正反対を向いている。

$$V_L+V_C=200-200=0$$

瞬間ごとに見ても、コイルの電圧が $+200\mathrm{V}$ のときコンデンサーは $-200\mathrm{V}$ で、和はつねに $0$ である。残るのは抵抗の電圧 $V_R=RI=20\mathrm{V}$ で、これがちょうど電源電圧に等しい。

キルヒホッフの法則は瞬間ごとに成り立っており、破れていない。

まとめ 共振では $Z=R$ となって電流が最大になり、その結果コイルとコンデンサーには電源よりはるかに大きい電圧がかかる。$2$ つは打ち消し合うので矛盾はない。

発展 — 一歩先へ。 ③ の倍率 $\frac{X_L}{R}$ を $Q$ 値(尖鋭度)という。ここでは $Q=10$ である。

$Q$ が大きいほど共振が鋭くなり、目的の振動数だけを強く拾える。ラジオの選局回路が特定の放送だけを取り出せるのは、この鋭さのおかげである。

いっぽう、$Q$ が大きい回路では思わぬ高電圧が発生する。実際の高電圧発生装置(テスラコイル)は、この電圧拡大を意図的に使っている。設計では「使う」と「壊れないようにする」の両面で $Q$ を意識する必要がある。

別解

エネルギーの往復として見るルート。 共振の正体は、コイルとコンデンサーのあいだをエネルギーが往復している状態である。

コンデンサーが電気エネルギーを蓄えているとき、コイルの電流は $0$ である。逆にコイルが磁気エネルギーを蓄えているとき、コンデンサーの電圧は $0$ である。この受け渡しの周期が $\frac{2\pi }{{\omega }_0}$ で、${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ である。

つまり $L$ と $C$ のあいだでは、電源とは無関係にエネルギーがぐるぐる回っている。電源がすることは、抵抗で失われる分を補うことだけである。

この見方で ④ が納得しやすくなる。$L$ と $C$ が「大きな電圧をやりとりしている」のは内部の話で、外から見ると差し引き $0$ である。電源が見ているのは抵抗だけなので、$Z=R$ になる。

ばね振り子との対応で書くと次のようになる。

外から周期的に押してやると、固有振動数のときに振幅が最大になる。共鳴と共振は同じ現象である。