送電の電力損失と変圧比

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 送電損失の核心は「同じ電力なら高電圧ほど小電流($P=VI$)、そして損失 $I^{2}r$ は電流の 2 乗」——だから電圧を上げると損失が劇的に減る。

① 各場合の損失。

$$(100\mathrm{V})I=\frac{P}{V}=\frac{10^4}{100}=100\mathrm{A},損失=I^{2}r=100^2\times 1.0=1.0\times 10^4\mathrm{W}$$

$$(10^4\mathrm{V})I=\frac{10^4}{10^4}=1.0\mathrm{A},損失=1.0^2\times 1.0=1.0\mathrm{W}$$

② 損失の比。

$$\frac{損失(100\mathrm{V})}{損失(10^4\mathrm{V})}=\frac{10^4}{1.0}=10^4$$

電圧 100 倍 → 電流 $\frac{1}{100}$ → 損失 $\frac{1}{100^2}=\frac{1}{10^4}$。

まとめ $100\mathrm{V}$ 送電では損失 $10^4\mathrm{W}$——送ろうとする $10^4\mathrm{W}$ が全部途中で消えてしまう(何も届かない)。$10^4\mathrm{V}$ なら損失はわずか $1\mathrm{W}$。だから発電所では変圧器で超高圧に昇圧して送り、消費地で降圧する。損失が「電流の 2 乗」に比例する($P_{損失}=I^{2}r=\frac{P^2}{V^2}r$、電圧の 2 乗に反比例とも書ける)ことが、高電圧送電の必然性の数学的根拠である。変圧器で自在に昇降圧できる交流だからこそ、この戦略が可能になっている。

別解

損失を電圧の式で書くルート。 $P_{損失}=I^{2}r={\left(\frac{P}{V}\right)}^{2}r=\frac{P^{2}r}{V^2}$——損失は送電電圧の 2 乗に反比例。この式なら電圧を代入するだけで、$\frac{(10^4{)}^2\times 1.0}{100^2}=10^4\mathrm{W}$、$\frac{(10^4{)}^2\times 1.0}{(10^4{)}^2}=1.0\mathrm{W}$ と一発。

「損失 $\propto \frac{1}{V^2}$」の形で持っておくと、送電電圧を変えたときの損失が即座に見積もれる——実用の送電計算で便利な形である。