コイルのエネルギーの変化と過渡

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 磁気エネルギーは $\frac{1}{2}L{I}^2$ だから、電流が変われば$I^2$ の差で変化する。そのエネルギーの出どころ(2)まで問うのがこの問題の主眼である。

① エネルギーの変化。

$$\Delta U=\frac{1}{2}L(I_2^2-I_1^2)=\frac{1}{2}\times 0.20\times (4.0^2-1.0^2)=0.10\times (16-1)=0.10\times 15=1.5\mathrm{J}$$

② エネルギーの出どころ。 電流を増やすとき、コイルは自己誘導起電力で変化を妨げる(電流の増加に逆らう向きの起電力)。電源はこの逆起電力に逆らって余分に仕事をし、それが磁気エネルギー $1.5\mathrm{J}$ として蓄えられた。

まとめ電源の余分な仕事が磁気エネルギーになる。コンデンサーを充電するとき、電源が仕事をして静電エネルギーが蓄えられるのと同じ関係である($L\leftrightarrow C$、$I\leftrightarrow V$)。$I^2$ の差だから、$(4^2-1^2)=15$ であって $(4-1{)}^2=9$ ではない(2 乗の差として計算すると $1.5\mathrm{J}$)。逆に電流を減らすと、蓄えたエネルギーが放出される(逆起電力が電源を助ける)。スイッチを切ったときの火花は、このエネルギーの放出によるものである。「増やすとき蓄え、減らすとき放出」がコイルのエネルギー収支である。

別解

個別に計算して差を取るルート。 $U_1=\frac{1}{2}\times 0.20\times 1.0^2=0.10\mathrm{J}$、$U_2=\frac{1}{2}\times 0.20\times 4.0^2=1.6\mathrm{J}$。差は $1.6-0.10=1.5\mathrm{J}$ で、公式 $\frac{1}{2}L(I_2^2-I_1^2)$ と一致する。

「それぞれ計算して引く」方が $(4-1{)}^2$ のような誤りを犯しにくい。2 乗の差を間違えやすいときは、個別に計算する方が安全である。