相互誘導とコイルの結合

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 相互誘導の起電力は電流の変化率に比例——まず変化率を計算し、$V_2=M\frac{\Delta I_1}{\Delta t}$ に入れる。

① 起電力。 変化率は

$$\frac{\Delta I_1}{\Delta t}=\frac{4.0-0}{0.20}=20A/s$$

よって

$$V_2=M\frac{\Delta I_1}{\Delta t}=0.05\times 20=1.0\mathrm{V}$$

② 変化を 2 倍速くすると。 起電力は変化率に比例するから、変化率 2 倍で起電力も2 倍:

$$V_2=2.0\mathrm{V}$$

まとめ 「変化が速いほど起電力が大きい」——だから変圧器は交流(絶えず速く変化する電流)で使う。もし直流をゆっくり流しても、$\frac{\Delta I}{\Delta t}$ が小さければ起電力はわずか、一定電流($\frac{\Delta I}{\Delta t}=0$)なら起電力 0(だから直流では変圧器が働かない)。交流の周波数が高いほど $\frac{\Delta I}{\Delta t}$ が大きく、効率よく電力を伝えられる——ワイヤレス充電が高周波を使う理由もここにある。相互誘導の「変化率に比例」は、電磁誘導のすべてに共通する原理(ファラデーの法則)の一表現である。

別解

交流での実効的な起電力を見積もるルート。 もし 1 次側に $50\mathrm{Hz}$ の交流(振幅 $4.0\mathrm{A}$)を流すと、電流変化率の最大は $\omega I_0=2\pi \times 50\times 4.0\approx 1.3\times 10^{3}A/s$——今回の $20A/s$ の 60 倍以上。交流なら 2 次起電力も桁違いに大きくなる。

「交流の速い変化 → 大きな相互誘導起電力」を数値で実感すると、変圧器・ワイヤレス給電がなぜ交流・高周波なのかが腑に落ちる。