コイルを含む回路のスイッチ切り替え

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 コイルの 2 状態はコンデンサーと真逆——直後は断線・十分後は導線(電流 0 から立ち上がる)。理由は「コイルは電流の急変を妨げる(電気の慣性)」から。

① 直後。 コイルが電流の立ち上がりを妨げる → 電流はまだ流れ出せず

$$I_0=0$$

② 十分後。 電流が一定になれば $\frac{\Delta I}{\Delta t}=0$ で自己誘導起電力も 0——コイルはただの導線に:

$$I=\frac{12}{4.0}=3.0\mathrm{A}$$

③ エネルギー。

$$U=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}\times 0.10\times 3.0^2=0.45\mathrm{J}$$

まとめ コイル: 直後=断線、十分後=導線。コンデンサー(直流回路の単元): 直後=導線、十分後=断線——きれいに逆である。理由も対照的: コンデンサーは電圧が急変できない、コイルは電流が急変できない。「$C$ の電圧・$L$ の電流は連続」という 2 大連続量。この対称性を押さえると、$RL$ 回路と $RC$ 回路の過渡現象が 1 枚の表で整理できる。蓄えたエネルギー $0.45\mathrm{J}$ は、スイッチを切ると火花や逆起電力となって放出される。

別解

電流の立ち上がりを追うルート。 スイッチ直後、電池の 12 V はすべて自己誘導起電力に消える(電流 0 なので抵抗の電圧降下も 0)。電流が増えるにつれ抵抗の電圧降下が増え、自己誘導ぶんが減り、最終的に電流一定(自己誘導 0)で $\frac{12}{4.0}=3.0\mathrm{A}$ に漸近する。

「直後は電圧が全部コイルに、十分後は全部抵抗に」——RC 回路(直後は全部抵抗、十分後は全部コンデンサー)と逆の役割分担。電流の時間変化は指数関数的に飽和する(応用 a07)。