交流回路の力率と有効電力

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 交流電力の総まとめ。インピーダンス → 電流 → 力率 → 平均電力を順に求め、2 式($V_e{I}_e\cos \varphi$ と $I_e^{2}R$)の一致で「消費するのは抵抗だけ」を確認する。

① 電流。

$$Z=\sqrt{R^2+X_L^2}=\sqrt{30^2+40^2}=50\Omega ,I_e=\frac{V_e}{Z}=\frac{100}{50}=2.0\mathrm{A}$$

② 力率。 直角三角形の底辺/斜辺:

$$\cos \varphi =\frac{R}{Z}=\frac{30}{50}=0.60$$

③ 平均電力(2 通り)。

$$P=V_e{I}_e\cos \varphi =100\times 2.0\times 0.60=120\mathrm{W}$$

$$P=I_e^{2}R=2.0^2\times 30=120\mathrm{W}$$

一致 ✓。

まとめ 2 式が一致することが、「平均電力=抵抗での発熱」の証明である——コイル($X_L=40\Omega$)はリアクタンスで電流を制限するが、エネルギーは消費しない(蓄えては返す)。力率 $\cos \varphi =\frac{R}{Z}$ は「インピーダンスのうち抵抗の割合」——抵抗成分が多いほど力率が高く、電力をよく消費する。$Z=50\Omega$ なのに実際に電力を消費するのは $R=30\Omega$ の分だけ($V_e{I}_e=200\mathrm{VA}$ の見かけの電力のうち、有効電力は $120\mathrm{W}$)。「見かけの電力 $V_e{I}_e$」「有効電力 $V_e{I}_e\cos \varphi$」「力率 $\cos \varphi$」の 3 点セットが、交流電力の実用的な枠組みである。

別解

電力の三角形で整理するルート。 見かけの電力 $S=V_e{I}_e=200\mathrm{VA}$、有効電力 $P=S\cos \varphi =120\mathrm{W}$、無効電力 $Q=S\sin \varphi =200\times 0.80=160\mathrm{var}$——この 3 つも直角三角形($S^2=P^2+Q^2$、$200^2=120^2+160^2$)をなす。

無効電力 $Q$ は「コイルが出し入れするが消費しない電力」——力率を上げる(コンデンサーで補償)と $Q$ が減り、送電線の無駄な電流が減る。電力会社が力率改善を求める理由が、この三角形で見える。