RLC 直列回路のインピーダンス

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 RLC の急所は「コイルとコンデンサーは位相が正反対(180°)」——だからリアクタンスは足さず差 $X_L-X_C$ を取る。それを抵抗と直角三角形で合成する。

① インピーダンス。

$$Z=\sqrt{30^2+(80-40{)}^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50\Omega$$

(3:4:5 の直角三角形。)

② 電流。

$$I_e=\frac{V_e}{Z}=\frac{100}{50}=2.0\mathrm{A}$$

③ 共振。 $X_L=X_C$ にすると $X_L-X_C=0$ で

$$Z=\sqrt{R^2+0}=R=30\Omega (最小)$$

インピーダンスが最小になり、電流が最大(共振)になる。

まとめ コイル(電圧が電流より 90° 進む)とコンデンサー(90° 遅れる)は互いに 180° ずれ——だから電圧が打ち消し合い、$X_L=X_C$ で完全に相殺する。共振周波数は $X_L=X_C$、すなわち $\omega L=\frac{1}{\omega C}$ から ${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$——$LC$ 回路の固有振動数(前問)と一致する。共振では回路が「抵抗だけ」のように振る舞い、その周波数の交流を最もよく通す——ラジオの選局はこの共振で特定の周波数の電波だけを拾っている。「$LC$ が相殺、$R$ だけ残る」が RLC 共振の核心である。

別解

電圧の内訳で共振を実感するルート。 電流 $2.0\mathrm{A}$ が流れると、$V_R=60$、$V_L=X_{L}I=160$、$V_C=X_{C}I=80\mathrm{V}$。コイルとコンデンサーの電圧の差は $160-80=80\mathrm{V}$、抵抗と直角合成して $\sqrt{60^2+80^2}=100\mathrm{V}$ ✓。

$V_L=160\mathrm{V}$ が電源の $100\mathrm{V}$ を超えている——共振近くではコイル・コンデンサー個別の電圧が電源電圧を超えうる(その分互いに打ち消す)。「個別の電圧は電源を超えられる」という交流の不思議を、数値で目撃できる。