斜面レール上の導体棒(エネルギー総合)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 終端速度=等速=運動エネルギー不変。だからエネルギー保存は単純になる——「重力がした仕事 = ジュール熱」(運動エネルギーの増減がない)。

① 重力がした仕事。 鉛直に $h$ 下がったので

$$W=mgh=0.10\times 9.8\times 0.50=0.49\mathrm{J}$$

② ジュール熱。 等速なので運動エネルギーは変化しない。エネルギー保存より、重力がした仕事はすべて抵抗のジュール熱になる:

$$Q=W=0.49\mathrm{J}$$

まとめ 「位置エネルギーの減少 → ジュール熱」——摩擦のないなめらかな斜面なのに、棒は加速せず一定速度で滑る。失われた位置エネルギーは、摩擦熱ではなく電気を経由した抵抗のジュール熱になっている。これは電磁ブレーキ(電車の回生ブレーキ)そのもの——下り坂で車を電磁的に制動し、位置エネルギーを電気(→熱、または回収)に変える。「力学的仕事 → 電気 → 熱」というエネルギー変換の連鎖を、$mgh=Q$ という 1 つの等式で追える総合問題である。

別解

時間をかけて追うルート(等速でない場合との対比)。 もし終端速度に達する前(加速中)なら、$mgh=\Delta (\frac{1}{2}m{v}^2)+Q$——重力の仕事は運動エネルギーの増加とジュール熱に分かれる。終端(等速)では $\Delta (\frac{1}{2}m{v}^2)=0$ になり、全部が熱になる。

「加速中は運動エネルギーとの分配、等速では全部熱」——エネルギー保存の一般式に運動エネルギー項を入れておけば、どの局面でも対応できる。等速はその特別な場合である。