電気振動とLC共振

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $LC$ 回路は「電気版のばね振り子」——コンデンサー(位置エネルギー)とコイル(運動エネルギー)の間でエネルギーが往復する振動である。固有角周波数の形も単振動とそっくり。

① 角周波数。

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{0.10\times 1.0\times 10^{-5}}}=\frac{1}{\sqrt{1.0\times 10^{-6}}}=\frac{1}{10^{-3}}=1.0\times 10^{3}rad/s$$

② ばね振り子との対応。

コンデンサーが満タン(電荷最大・電流 0)= ばねが最も伸びた瞬間(位置最大・速度 0)。放電が進むと電流が増え(コイルにエネルギーが移る)、コンデンサーが空のとき電流最大——ばねが自然長を速さ最大で通過する瞬間に対応。

まとめ 電気振動と単振動は完全に同じ数学(どちらも $\omega$ で正弦振動)——だから力学で学んだ振動の直感がそのまま使える。$C\leftrightarrow \frac{1}{k}$、$L\leftrightarrow m$ の対応で、${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$ が $\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$ と同型になる。ラジオの同調(特定の周波数の電波だけ拾う)は、この共振周波数を可変コンデンサーで合わせている——電気振動は無線通信の心臓部である。

別解

エネルギー保存で振動を確かめるルート。 $LC$ 回路の全エネルギー $\frac{Q^2}{2C}+\frac{1}{2}L{I}^2$ は一定(抵抗がなければ)——ばね振り子の $\frac{1}{2}k{x}^2+\frac{1}{2}m{v}^2$ が一定なのと同じ。エネルギーが 2 つの器を往復するから振動が続く。

「エネルギー保存 = 振動が減衰せず続く」——抵抗を入れると熱で失われ、振動は減衰する(減衰振動、単振動の空気抵抗版)。エネルギーの視点が、振動の持続と減衰を統一的に説明する。