コイルの電流を切ると高電圧が出る

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 コイルは電流を保とうとする。無理に切ろうとすると、電流を流し続けようとして大きな起電力を出す。

その大きさは $L\frac{\Delta I}{\Delta t}$ だから、切る時間が短いほど大きい。理屈のうえでは、瞬間的に切れば無限大になる。

しかし現実には無限大にはならない。どこかに逃げ道(火花、あるいはコンデンサー)があって、そこで電圧が決まる。「何が電圧を決めているのか」を追うのがこの問題である。

① 起電力。

$$V=L\frac{\Delta I}{\Delta t}$$

$1.0\mathrm{ms}$ の場合。

$$V=0.10\times \frac{2.0}{1.0\times 10^{-3}}=2.0\times 10^2\mathrm{V}$$

$1.0\mu \mathrm{s}$ の場合。

$$V=0.10\times \frac{2.0}{1.0\times 10^{-6}}=2.0\times 10^5\mathrm{V}$$

$20$ 万ボルトである。実際にはこれほど高くなる前に、スイッチの接点のあいだで放電(火花)が起き、そこを通って電流が流れる。

② 磁気エネルギー。

$$U=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}\times 0.10\times 4.0=0.20\mathrm{J}$$

このエネルギーが行き場を失うことが、高電圧の原因である。

③ コンデンサーがあるとき。 コイルの電流は急には止まれないので、コンデンサーへ流れこむ。コイルの磁気エネルギーがすべてコンデンサーの電気エネルギーに変わったとき、電流が $0$ になり電圧が最大になる。

$$\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}C{V}_{\max }^2$$

$$V_{\max }=I\sqrt{\frac{L}{C}}=2.0\times \sqrt{\frac{0.10}{0.10\times 10^{-6}}}=2.0\times \sqrt{1.0\times 10^6}=2.0\times 10^3\mathrm{V}$$

$2000\mathrm{V}$ である。① の $20$ 万ボルトより $2$ 桁小さく抑えられている。

④ 一般式と $C$ の効き方。

$$V_{\max }=I\sqrt{\frac{L}{C}}$$

$V\propto \frac{1}{\sqrt{C}}$ だから、$C$ を大きくすると電圧は下がる。$C$ を $10$ 倍にすれば電圧は $\frac{1}{\sqrt{10}}$ 倍、つまり約 $0.32$ 倍になる。

$C=1.0\mu \mathrm{F}$ なら $V_{\max }=6.3\times 10^2\mathrm{V}$ である。

大きなコンデンサーは「電荷を受け止める器が大きい」ので、同じ電荷が入っても電圧が上がりにくい、と考えると納得しやすい。

まとめ コイルの電流を切ると高電圧が生じるのは、行き場を失った磁気エネルギーのせいである。コンデンサーを付けると、その受け皿の大きさが電圧を決める。

発展 — 一歩先へ。 ガソリンエンジンの点火装置は、この現象をそのまま利用している。コイルに電流を流しておき、それを切ることで数万ボルトを発生させ、点火プラグで火花を飛ばす。

その回路には必ずコンデンサーが入っている(古い機構ではコンデンサーとよばれた)。これは電圧を下げるためではなく、接点で火花が飛んで接点が傷むのを防ぐためである。エネルギーをいったんコンデンサーに預け、接点が十分に離れてから放電させる。

同じ理由で、リレーやモーターのコイルには保護用のダイオード(還流ダイオード)が付けられる。切ったときの電流をダイオードに逃がし、高電圧が半導体を壊すのを防ぐ。

なお $\sqrt{\frac{L}{C}}$ は抵抗と同じ単位をもち、特性インピーダンスとよばれる。同軸ケーブルの「$50\mathrm{\Omega }$」「$75\mathrm{\Omega }$」という表示は、まさにこの量である。

別解

電気振動として見るルート。 ③ は「$LC$ 回路の振動の振幅」として求めることもできる。

スイッチを開いたあとの回路は、コイルとコンデンサーだけの $LC$ 回路である。ここでは電流と電圧が正弦的に振動する。

$${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{0.10\times 0.10\times 10^{-6}}}=1.0\times 10^{4}rad/s$$

電流の振幅は、切った瞬間の値 $I=2.0\mathrm{A}$ である(コイルの電流は連続だから)。

コンデンサーの電荷の振幅は、電流の振幅を ${\omega }_0$ で割ったものになる(単振動で $v_{\max }=A\omega$ だったのと同じ関係)。

$$Q_{\max }=\frac{I}{{\omega }_0}=\frac{2.0}{1.0\times 10^4}=2.0\times 10^{-4}\mathrm{C}$$

$$V_{\max }=\frac{Q_{\max }}{C}=\frac{2.0\times 10^{-4}}{0.10\times 10^{-6}}=2.0\times 10^3\mathrm{V}✓$$

③ と一致する。

このルートの利点は、いつ最大になるかまで分かることである。電流が最大の状態から始まるので、電圧が最大になるのは $\frac{1}{4}$ 周期後である。

$$\frac{T}{4}=\frac{1}{4}\cdot \frac{2\pi }{{\omega }_0}=\frac{2\pi }{4\times 10^4}\approx 1.6\times 10^{-4}\mathrm{s}$$

単振動との対応(電流 ↔ 速度、電荷 ↔ 位置)を覚えていれば、エネルギー保存を書かずに答えが出せる。