コンデンサーの容量リアクタンス

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 コンデンサーの容量リアクタンス $X_C=\frac{1}{\omega C}$ は、コイル($X_L=\omega L$)と分母・分子が逆——だから周波数特性も逆になる。

① リアクタンス。

$$X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{100\pi \times 1.0\times 10^{-4}}=\frac{1}{10^{-2}\pi }=\frac{100}{\pi }\approx 31.8\Omega$$

② 周波数特性。 $X_C$ は周波数が高いほど小さい → 高い周波数をよく通す。コイルとは逆。

まとめ コンデンサーは「高周波を通し、直流を遮断」($\omega =0$ で $X_C=\infty$=断線、これは直流回路で「十分後のコンデンサーは断線」と一致)。コイル(低周波を通す)とコンデンサー(高周波を通す)の逆の特性が、スピーカーのネットワーク回路(低音はコイル経由でウーファーへ、高音はコンデンサー経由でツイーターへ)などに使われる。電流の位相はコンデンサーでは電圧より $\frac{\pi }{2}$ 進む(コイルは遅れる——逆)。「コイルとコンデンサーは何もかも逆」と覚えると整理できる。

別解

直流の極限で断線を確かめるルート。 $\omega \to 0$(直流)で $X_C=\frac{1}{\omega C}\to \infty$——直流を通さない(断線)。これは直流回路の「十分時間後のコンデンサーは電流を通さない」と完全に一致する。交流でも周波数が低いほど通しにくい。

「直流回路で学んだコンデンサーの振る舞い(十分後=断線)」が、交流の $X_C\to \infty$($\omega \to 0$)と地続き——直流と交流が 1 つの式でつながる。