交流の実効値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 交流は電圧が振動して一定でないので、「実力を表す 1 つの値」が要る——それが実効値である。最大値との関係は $V_e=\frac{V_0}{\sqrt{2}}$。

① 最大値。

$$V_0=\sqrt{2}{V}_e=1.41\times 100\approx 141\mathrm{V}$$

② 実効値の意味。 実効値は「同じ抵抗に同じ平均電力(発熱)を生じさせる直流電圧」と定義される。$100\mathrm{V}$ の交流は、$100\mathrm{V}$ の直流と同じだけ抵抗を発熱させる。

まとめ 「実効値=直流に換算した実力」——だから家庭の $100\mathrm{V}$(実効値)は、瞬間的には $\pm 141\mathrm{V}$ まで振れているが、発熱で見ると $100\mathrm{V}$ の直流と等価である。$\frac{1}{\sqrt{2}}$ の由来は「${\sin }^2$ の 1 周期平均が $\frac{1}{2}$」——平均電力が $\frac{V_0^2}{2R}$ になり、これを $\frac{V_e^2}{R}$ と等しいと置くと $V_e=\frac{V_0}{\sqrt{2}}$ が出る。交流の計算は「実効値で書けば直流と同じ形」になるので、実効値が主役になる。

別解

なぜ √2 かを sin² の平均で見るルート。 瞬間電力は $\frac{v^2}{R}=\frac{V_0^2{\sin }^2\omega t}{R}$。${\sin }^2$ の 1 周期平均は $\frac{1}{2}$ なので、平均電力は $\frac{V_0^2}{2R}$。これを直流の $\frac{V_e^2}{R}$ と等しく置くと $V_e^2=\frac{V_0^2}{2}$、すなわち $V_e=\frac{V_0}{\sqrt{2}}$。

「${\sin }^2$ の平均 $\frac{1}{2}$」が $\sqrt{2}$ の正体——電流の実効値 $I_e=\frac{I_0}{\sqrt{2}}$ も全く同じ理由である。丸暗記でなく平均電力から導ければ、実効値の意味が定着する。