磁場の領域を落ちるコイル

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 電磁誘導の問題では「磁束が変化しているか」をまず確かめる。

境界をまたいでいるあいだは、磁場の中にあるコイルの面積が増えていくので磁束が変化する。だから起電力が生じる。

ところが全体が入りきると、面積が変わらないので磁束も変わらない。起電力は生じない。この「境目で起こることが変わる」のがこの問題の要点である。

① 起電力と電流。 下辺だけが磁場の中にあるので、磁場を横切る辺は下辺だけである。

$$V=Bav$$

$$I=\frac{V}{R}=\frac{Bav}{R}$$

レンツの法則から、電流は磁束の増加を妨げる向き、つまり磁場と逆向きの磁場をコイルの内側につくる向きに流れる。

② 力と運動方程式。 電流が流れている下辺が磁場から受ける力は

$$F=BIa=\frac{B^2{a}^{2}v}{R}$$

向きは上向き(落下を妨げる向き)である。これもレンツの法則の帰結で、もし下向きだったら落ちるほど加速し、エネルギーが無から生まれてしまう。

$$ma=mg-\frac{B^2{a}^2}{R}v$$

③ 終端速度。 加速度が $0$ になったときの速さである。

$$mg=\frac{B^2{a}^2}{R}{v}_{\mathrm{t}}⟹v_{\mathrm{t}}=\frac{mgR}{B^2{a}^2}$$

$$v_{\mathrm{t}}=\frac{0.010\times 9.8\times 0.10}{0.50^2\times 0.20^2}=\frac{9.8\times 10^{-3}}{1.0\times 10^{-2}}=0.98m/s$$

④ 入りきったあと。 上辺も下辺も磁場の中にあるので、両方に起電力が生じる。しかしコイルを一周する向きに見ると、この $2$ つは逆向きで、たがいに打ち消し合う。

磁束の側から見ても同じである。磁場の中にある面積が変わらないので $\Delta \Phi =0$、したがって起電力は $0$ である。

電流が流れないので力もはたらかず、自由落下に戻る。加速度は $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ である。

まとめ 起電力を生むのは「磁束の変化」であって「磁場の中にあること」ではない。境界をまたいでいるあいだだけブレーキがかかり、入りきると何も起こらない。

発展 — 一歩先へ。 磁石を銅のパイプに落とすとゆっくり落ちる実験は、これと同じ原理である。パイプを薄い輪の集まりと考えると、磁石が近づく輪では磁束が増え、離れる輪では減るので、どちらの輪にも磁石の運動を妨げる向きの電流が流れる。

この現象を渦電流という。電磁調理器(IH)や、金属探知機、新幹線の渦電流ブレーキにも使われている。

逆に、変圧器の鉄心では渦電流が損失になるので、薄い鉄板を絶縁して重ねる(成層鉄心)ことで電流の通り道を断ち切っている。同じ現象を「使う」場面と「防ぐ」場面がある。

別解

エネルギーの収支で終端速度を出すルート。 ③ は力を使わずに、エネルギーの流れからも求められる。

終端速度では速さが変わらないので、運動エネルギーは増えていない。したがって重力がする仕事は、そっくりそのまま抵抗での発熱になっているはずである。

$1$ 秒あたりで考える。重力がする仕事(仕事率)は

$$P_{\text{重力}}=mg{v}_{\mathrm{t}}$$

抵抗での発熱は

$$P_{\text{熱}}=I^{2}R={\left(\frac{Ba{v}_{\mathrm{t}}}{R}\right)}^{2}R=\frac{B^2{a}^2{v}_{\mathrm{t}}^2}{R}$$

$2$ つが等しいとおく。

$$mg{v}_{\mathrm{t}}=\frac{B^2{a}^2{v}_{\mathrm{t}}^2}{R}⟹v_{\mathrm{t}}=\frac{mgR}{B^2{a}^2}$$

③ と一致する。$v_{\mathrm{t}}$ が両辺から $1$ つずつ消えるのが気持ちよい。

このルートの利点は、「発電した電力はどこへ行くのか」がはっきり見えることである。コイルが落ちるとき、重力の位置エネルギーが電気を経由して熱に変わっている。

電磁ブレーキが「摩擦を使わずに止められる」のは、運動エネルギーをこの経路で熱に捨てているからである。ブレーキパッドが摩耗しないという利点があるが、止まってしまうと($v=0$ で起電力が $0$)効かなくなるという弱点もある。