物理 / 電磁誘導と交流

交流発電機の起電力

★★★ 応用交流発電機

問題

面積 $S = 0.02 m^{2}$ 、巻数 $N = 100$ のコイルを、磁束密度 $B = 0.50 T$ の一様な磁場の中で、磁場に垂直な軸のまわりに角速度 $ω = 100 rad/s$ で回転させる。(1) コイルを貫く磁束を時刻 $t$ の式で表せ。 (2) 生じる誘導起電力の最大値を求めよ。

ヒントを見る

コイルを回すと、面と磁場の角度が変わり磁束が Φ=BScosωt と正弦的に変化する。その変化率(傾き)が起電力——cos の変化率は sin なので、起電力は sin 型の交流になる。最大値は NBSω。

解答・解説

方針

回転で磁束が Φ=BScosωt と変化。V=-N dΦ/dt=NBSω sinωt。最大値 V0=NBSω。回転が交流を生む。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 発電機は「コイルを回して磁束を周期的に変える」装置——磁束が $cos ω t$ で変化し、その変化率(起電力)が $sin ω t$ の交流になる。これが交流が正弦波である理由そのものである。

① 磁束。 面が磁場に垂直な瞬間を $t = 0$ とすると、角度 $ω t$ で

$Φ = B S cos ω t$

② 起電力。 ファラデーの法則で(変化率= $cos$ の微分= $- sin$ ):

$V = - N \frac{ΔΦ}{Δ t} = N B S ω sin ω t$

最大値は $sin ω t = 1$ のとき

$V_{0} = N B S ω = 100 \times 0.50 \times 0.02 \times 100 = 100 V$

まとめ 磁束が最大( $cos = 1$ 、面が磁場に垂直)のとき起電力は 0、磁束が 0( $cos = 0$ 、面が磁場に平行)のとき起電力が最大——「磁束と起電力は 90° ずれる」(量と変化率の関係、標準 s01 と同じ)。発電機は $V_{0} = N B S ω$ で、速く回すほど( $ω$ 大)・巻数が多いほど・磁場が強いほど高い電圧を生む。世界中の電気の大半は、この原理(水力・火力・原子力でタービンを回してコイルを回転)で作られている——電磁誘導の法則が、文明のエネルギー供給を支えている。

答

(1) $Φ = B S cos ω t$ (面が磁場に垂直な時刻を $t = 0$ とする) (2) 起電力 $V = N B S ω sin ω t$ の最大値 $V_{0} = N B S ω = 100 \times 0.50 \times 0.02 \times 100 = 100 V$

別解

動く導体棒の集まりとして見るルート。 回転するコイルの各辺は、磁場中を動く導体棒——それぞれに $v B L$ の起電力が生じる。辺の速さは回転で周期的に変わるので、起電力も周期的(正弦波)になる。 $V_{0} = N B S ω$ は、この $v B L$ をコイル全体・全巻数で合計したものに等しい。

「回転コイル = 動く導体棒の集合」と見ると、発電機が基礎の $V = v B L$ の延長線上にあることが分かる——単純な棒から実用の発電機まで、同じ原理でつながっている。

ポイント

Φ=BScosωt→V=NBSω sinωt
回転が正弦波交流を生む
V0=NBSω(速く・多く巻き・強い磁場)

よくある間違い

磁束と起電力を同位相と考える
最大値に sin を残す
ω を掛け忘れる(微分で出る)