抵抗のないループでは磁束が保存される

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ふつうの回路では「電流が決まっている」と考えるが、抵抗が $0$ のループでは事情が違う。

一周したときの電圧の関係を書いてみる。抵抗による電圧降下は $RI=0\times I=0$ である。したがって誘導起電力も $0$ でなければならない。

起電力が $0$ とは、$\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=0$、つまり磁束が変化しないということである。

だから「電流が一定」ではなく「磁束が一定」が保たれる。外から磁束を押しこめば、電流のほうが変わって帳尻を合わせる。

① はじめの磁束。 自己インダクタンスの定義から

$${\Phi }_0=L{I}_0=0.20\times 5.0=1.0\mathrm{Wb}$$

② 磁束が保存されること。 ループを一周する。抵抗による電圧降下は $0$ なので

$$0=-\frac{\Delta {\Phi }_{\text{全}}}{\Delta t}$$

$$⟹{\Phi }_{\text{全}}=\text{一定}$$

ここで ${\Phi }_{\text{全}}$ は、自分の電流がつくる磁束と外からの磁束の和である。

③ 磁石を近づけたあとの電流。 磁束の合計が変わらないことから

$$LI+{\Phi }_{\text{外}}=L{I}_0$$

$$I=I_0-\frac{{\Phi }_{\text{外}}}{L}=5.0-\frac{0.50}{0.20}=5.0-2.5=2.5\mathrm{A}$$

電流は半分に減る。外から押しこまれた磁束を打ち消すように、自分の電流を減らしたのである。これはレンツの法則そのものである。

④ エネルギー。 磁気エネルギーは

$$U_0=\frac{1}{2}L{I}_0^2=\frac{1}{2}\times 0.20\times 25=2.5\mathrm{J}$$

$$U=\frac{1}{2}L{I}^2=\frac{1}{2}\times 0.20\times 6.25=0.625\mathrm{J}$$

$1.875\mathrm{J}$ 減っている。

抵抗が $0$ なので、熱にはなっていない。ではどこへ行ったのか。答えは「磁石を動かした人」である。

ループは磁石を押し返す向きに力を及ぼす(レンツの法則)。それに逆らって磁石を近づけたので、ループは磁石を動かす側に仕事をした。減ったエネルギーはその仕事として外部へ出ていったのである。

エネルギーは全体としては保存している。ループの中だけを見れば減っている。

まとめ 抵抗 $0$ のループでは、電流ではなく磁束が保存量になる。「何が一定に保たれるか」を見抜くのが第一手である。

発展 — 一歩先へ。 磁束の保存は、超伝導体の重要な性質である。超伝導リングに一度電流を流すと、抵抗がないので何年でも流れ続ける。これを永久電流という。

MRI(磁気共鳴画像診断)の強力な磁石は、この永久電流で磁場をつくっている。電源を切っても磁場が消えないので、装置に近づくときは金属の持ち込みが厳しく制限される。

なお、抵抗が $0$ でなくても、変化がとても速ければ近似的に磁束は保存する。時定数 $\frac{L}{R}$ より短い時間では電流が変われないからである。プラズマの磁場閉じこめでも、この「磁束が凍りついている」という描像が使われる。

別解

時定数の極限として見るルート。 ループに小さな抵抗 $R$ があるとして、$R\to 0$ の極限を考えても同じ結論になる。

抵抗のあるループに外から磁束を加えると、はじめは磁束を打ち消すように電流が変化するが、そのあと時定数 $\frac{L}{R}$ で元の状態へ緩和していく。誘導電流はやがて消えてしまう。

たとえば $R=0.010\mathrm{\Omega }$ なら

$$\frac{L}{R}=\frac{0.20}{0.010}=20\mathrm{s}$$

で、$20$ 秒ほどかけて電流が元に戻る。

$R$ を小さくしていくとこの時間はどんどん長くなり、$R\to 0$ では無限大になる。つまり「元に戻らない」。これが ② の磁束保存である。

この見方の利点は、現実の導体で何が起こるかが分かることである。銅のリングでも、磁石を素早く近づければ(時定数より短い時間なら)ほぼ磁束が保存され、大きな反発力が生じる。ゆっくり近づければ電流が緩和してしまい、力はほとんど生じない。

「速く動かすほど強く反発する」という日常の感覚が、時定数との比較として理解できる。