物理 / 電磁誘導と交流

斜面レール上の導体棒の終端速度

★★ 標準電磁誘導終端速度

問題

傾き $30°$ のなめらかな斜面にコの字レール(間隔 $0.20 m$ 、抵抗 $0.10 Ω$ )を敷き、鉛直磁場ではなく斜面に垂直な磁場(磁束密度 $0.50 T$ )をかける。質量 $0.10 kg$ の導体棒を斜面に沿って滑らせると、やがて一定の速さ(終端速度)になった。この終端速度を求めよ。 $g = 9.8 m/ s^{2}$ とする。

ヒントを見る

棒が速くなるほど起電力→電流→制動力が強まる。やがて制動力が重力の斜面成分とつり合い、加速が止まる(終端速度)。制動力 F=BIL に I=vBL/R を代入すると、F が v に比例することが見える。

解答・解説

方針

制動力 F=BIL=B(vBL/R)L=B²L²v/R は速さに比例。速いほど制動が強まり、重力成分とつり合う速さで一定に。mg sinθ=B²L²v/R。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 終端速度は「加速度 0=力のつり合い」で決まる。鍵は、磁場による制動力が速さに比例して増えること——だから必ずどこかで重力とつり合う。

① 制動力を速さで書く。 起電力 $v B L$ → 電流 $I = \frac{v B L}{R}$ → 制動力

$F = B I L = B \cdot \frac{v B L}{R} \cdot L = \frac{B ^{2} L ^{2} v}{R}$

速さ $v$ に比例する(速いほど強く妨げる)。

② つり合い(終端)。 重力の斜面成分とつり合う:

$m g sin 30° = \frac{B ^{2} L ^{2} v}{R}$

$v = \frac{m g R sin 30°}{B ^{2} L ^{2}} = \frac{0.10 \times 9.8 \times 0.10 \times 0.5}{0.5 0 ^{2} \times 0.2 0 ^{2}} = \frac{0.049}{0.01} = 4.9 m/s$

まとめ 制動力が速さに比例( $\propto v$ )——これは空気抵抗による終端速度(雨滴・パラシュート)と全く同じ構造である。速いほど抵抗が強まり、重力とつり合った速さで一定になる。磁場による「速度比例の制動」は電磁ブレーキ(電車・ジェットコースターの非接触ブレーキ)の原理——摩擦を使わず、渦電流の制動で止める。「速さに比例する抵抗力 → 終端速度」というパターンを、力学(空気抵抗)と電磁気(渦電流制動)で共有していることが要点である。

答

終端では加速度 0、重力の斜面成分 $m g sin 30°$ と磁場による制動力 $\frac{B ^{2} L ^{2} v}{R}$ がつり合う。 $m g sin 30° = \frac{B ^{2} L ^{2} v}{R}$ より $v = \frac{m g R sin 30°}{B ^{2} L ^{2}} = \frac{0.10 \times 9.8 \times 0.10 \times 0.5}{0.5 0 ^{2} \times 0.2 0 ^{2}} = 4.9 m/s$

別解

エネルギーで終端を確かめるルート。 終端速度では、重力がする仕事率 $m g sin θ \cdot v$ がすべて抵抗のジュール熱 $\frac{V ^{2}}{R} = \frac{( v B L ) ^{2}}{R}$ になる。 $m g sin θ \cdot v = \frac{v ^{2} B ^{2} L ^{2}}{R}$ の両辺を $v$ で割ると $m g sin θ = \frac{v B ^{2} L ^{2}}{R}$ ——力のつり合いと同じ式。

「重力の仕事率=ジュール熱」というエネルギーの見方でも、力のつり合いでも、同じ終端速度に着く——2 つの視点の一致が理解の確認になる。

ポイント

制動力∝v(速いほど強い)
mgsinθ=B²L²v/R でつり合い
空気抵抗の終端速度と同型・電磁ブレーキ

よくある間違い

制動力を一定として扱う
sin と cos を取り違える
I=vBL/R の代入を忘れる