RL回路の過渡現象(電流の立ち上がり)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 両端の値は 2 状態変換で即決。間の形は「変化の速さが“残り”に比例する」構造から、初めが急で緩やかになる飽和曲線である。

① 両端の値。 コイルは直後=断線、十分後=導線:

$$I_0=0,I_{\infty }=\frac{E}{R}=\frac{12}{4.0}=3.0\mathrm{A}$$

② エネルギー。

$$U=\frac{1}{2}L{I}_{\infty }^2=\frac{1}{2}\times 0.10\times 3.0^2=0.45\mathrm{J}$$

③ グラフの概形。 各瞬間、電池の電圧は抵抗の降下 $RI$ と自己誘導 $L\frac{\Delta I}{\Delta t}$ に分かれる: $12=RI+L\frac{\Delta I}{\Delta t}$。電流が小さいうちは自己誘導ぶんが大きく急増、$I$ が $I_{\infty }$ に近づくと $\frac{\Delta I}{\Delta t}$ が小さくなり緩やかに——上に凸の飽和曲線で $3.0\mathrm{A}$ に漸近する。

まとめ RL 回路の電流の立ち上がりは、RC 回路の電荷の増え方(標準の充電)と同じ形——「残りに比例して増える」指数型の飽和。コイル(電流が飽和)とコンデンサー(電荷が飽和)は、過渡現象でも同じ数学に従う。立ち上がりの速さは時定数 $\frac{L}{R}$ で決まる($RC$ 回路の $RC$ に対応)——$L$ が大きい・$R$ が小さいほどゆっくり立ち上がる。「$L$ の電流も $C$ の電荷も、急には変われず飽和曲線で近づく」——過渡現象の統一像である。

別解

電圧の配分で追うルート。 $t=0$: 電流 0 なので抵抗の降下 0、12 V 全部が自己誘導に(だから最も急に増える)。$t\to \infty$: 電流一定で自己誘導 0、12 V 全部が抵抗に($I=3.0\mathrm{A}$)。途中は「抵抗と自己誘導が 12 V を分け合い、抵抗の取り分が増えていく」——電流の飽和と対応する。

「直後はコイルが全電圧、十分後は抵抗が全電圧」——RC 回路(直後は抵抗、十分後はコンデンサーが全電圧)と役割が逆。この対比を押さえると、両回路の過渡が 1 枚で整理できる。