レール上の 2 本の棒

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 本の棒がどちらも動くので、起電力は $2$ つ生じる。しかし回路を一周する向きに見ると、$2$ つは逆向きなので差だけが残る。

つまり回路を動かしているのは速さの差である。差がなくなれば電流も止まる。

そして $2$ 本にはたらく力は、同じ電流・同じ磁場・同じ長さなので大きさが等しく、向きは逆である(片方は減速、もう片方は加速)。これは力学の作用反作用と同じ形なので、運動量が保存する。

こう見ると、この問題は完全非弾性衝突とまったく同じ構造をしている。

① 電流。 起電力は差で決まる。

$$V=Bl\left(v_1-v_2\right)$$

$$I=\frac{Bl\left(v_1-v_2\right)}{R}$$

② 力と運動量。 どちらの棒にも同じ電流 $I$ が流れ、同じ磁場の中で同じ長さ $l$ だから

$$F=BIl$$

で大きさは等しい。向きは、レンツの法則から「相対運動を妨げる向き」、つまり P には減速する向き、Q には加速する向き(P と同じ向き)にはたらく。

$$m\frac{\Delta v_1}{\Delta t}=-F,m\frac{\Delta v_2}{\Delta t}=+F$$

辺々足すと右辺が消える。

$$m\frac{\Delta \left(v_1+v_2\right)}{\Delta t}=0⟹m{v}_1+m{v}_2=\text{一定}$$

③ 最終状態。 電流が流れなくなるまで力がはたらき続けるので、最後は $v_1=v_2$ になる。運動量保存から

$$m{v}_0=2mv⟹v=\frac{v_0}{2}=2.0m/s$$

$2$ 本とも $2.0m/s$ で同じ向きに走り続ける。

④ 熱。 エネルギーの差が熱になる。

$$K_0=\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}\times 0.50\times 16=4.0\mathrm{J}$$

$$K=2\times \frac{1}{2}m{v}^2=0.50\times 4.0=2.0\mathrm{J}$$

$$Q=4.0-2.0=2.0\mathrm{J}$$

はじめの運動エネルギーのちょうど半分が熱になった。

これは等質量の完全非弾性衝突で失われる割合と同じである。実際、文字で書くと

$$Q=\frac{1}{2}m{v}_0^2-\frac{1}{2}(2m){\left(\frac{v_0}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}m{v}_0^2$$

で、衝突の公式と一致する。

まとめ 電磁誘導でつながれた $2$ 本の棒は、電磁的な「完全非弾性衝突」をする。運動量は保存し、エネルギーの半分は熱になる。接触していないのに衝突と同じ結果になるのが面白いところである。

発展 — 一歩先へ。 「接触していないのに衝突と同じ」になるのは、$2$ 本を結びつけている力が作用反作用の形をしているからである。力の正体が接触力でも電磁力でも、この形さえ満たしていれば運動量は保存する。

相対速度の減り方も調べておくと見通しがよい。② の式を引き算すると

$$m\frac{\Delta \left(v_1-v_2\right)}{\Delta t}=-2BIl=-\frac{2B^2{l}^2}{R}\left(v_1-v_2\right)$$

相対速度が自分自身に比例して減るので、指数関数的に $0$ へ近づく。時定数は

$$\tau =\frac{mR}{2B^2{l}^2}=\frac{0.50\times 0.20}{2\times 0.25\times 0.040}=5.0\mathrm{s}$$

厳密には有限の時間では止まらず、限りなく近づいていく。「十分に時間が経つと」という表現は、この時定数の何倍か経ったあと、という意味である。

なお、質量が違えばどうなるか。$m$ と $2m$ なら共通速度は $\frac{v_0}{3}$ になり、失われる割合も変わる。等質量のときちょうど半分になるのは、この場合の特殊な結果である。

別解

重心の立場に移るルート。 運動量が保存するので、$2$ 本の重心は一定の速さで動き続ける。

重心の速さは

$$v_{\mathrm{G}}=\frac{m{v}_0+0}{2m}=\frac{v_0}{2}=2.0m/s$$

重心とともに動く立場に移ると、はじめ P は $+2.0m/s$、Q は $-2.0m/s$ で、たがいに近づいている。

この立場では運動量の和がつねに $0$ なので、$2$ 本の速さはいつでも大きさが等しく逆向きである。

最終状態では電流が流れない、つまり相対速度が $0$ なので、この立場では $2$ 本とも静止する。もとの立場に戻すと、どちらも $2.0m/s$ ✓ である。

熱もすぐ出る。この立場での運動エネルギーがすべて熱になるので

$$Q=2\times \frac{1}{2}m{\left(\frac{v_0}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}m{v}_0^2=2.0\mathrm{J}✓$$

重心の立場では「持っていた運動エネルギーが全部なくなる」ので、計算が引き算にならない。

重心の運動エネルギー($\frac{1}{2}(2m)v_{\mathrm{G}}^2=2.0\mathrm{J}$)は、けっして熱に変えられない分である。運動量が保存する以上、重心は動き続けるしかないからである。「失えるエネルギーの上限」が重心の立場を考えるだけで分かる。