交流のジュール熱

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 交流のジュール熱は「実効値を使えば直流と同じ式」——これが実効値という量を定義した目的そのものである。

① ジュール熱。

$$Q=I_e^{2}Rt=2.0^2\times 30\times 10=4\times 30\times 10=1.2\times 10^3\mathrm{J}$$

② なぜ実効値か。 実効値は「同じ抵抗に同じ平均発熱を生じる直流電流」として定義されている(基礎 b09)。だから直流の発熱の式 $Q=I^{2}Rt$ に実効値を入れれば、交流の正しい発熱が得られる。もし最大値 $I_0=\sqrt{2}{I}_e$ を使うと、$I_0^2=2I_e^2$ で発熱を 2 倍に過大評価してしまう。

まとめ 「実効値=発熱で直流換算した値」——だから発熱・平均電力の計算はすべて実効値で行い、直流と同じ公式が使える。これが実効値が交流の「標準の値」として使われる理由である($100\mathrm{V}$、$2.0\mathrm{A}$ という表示はすべて実効値)。瞬間の値は $\sqrt{2}$ 倍まで振れるが、発熱の帳尻は実効値で合う。交流を扱うときは「まず実効値に統一する」のが定石——最大値・瞬間値と混ぜないことが計算ミスを防ぐ。

別解

平均電力から積み上げるルート。 平均電力は $P=I_e^{2}R=2.0^2\times 30=120\mathrm{W}$——毎秒 120 J。10 秒で $120\times 10=1200\mathrm{J}$ ✓。「平均電力 × 時間 = 総発熱」という素直な積み上げでも同じ答えになる。

「$Q=Pt$、$P=I_e^{2}R$」と 2 段に分けると、電力(毎秒)と熱量(総量)の区別が明確になる——単位($\mathrm{W}$ と $\mathrm{J}$)の意識も定着する。